Файл: Лабораторные работы по ИТ.pdf

3.Отобразите на графиках изменение электрического потенциала и напряженности электрического поля вдоль 1) оси, соединяющей проводники, 2) оси y, 3) контура провода фазы A.

4.Отобразите на графиках зависимости от времени изменение потенциала каждого из проводов, а также потенциала, напряженности и компонент вектора напряженности электрического поля в точке (3d, d) или (3c, c).

5.Определите максимальную напряженность электрического поля и точку (точки) в которых она максимальна.

6.Определите максимальный электрический заряд, наводимый в проводниках.

7.Определите зависимость от времени энергии электрического поля в точке (3d, d) или (3c, c) и суммарной энергии.

5.Вопросы к защите

1.Какие возможности программы FlexPDE для расчета задач электромагнитного поля вы можете назвать?

2.Назовите основные этапы работы с программой FlexPDE.

3.Как можно рассчитать электрический заряд в программе FlexPDE?

4.Какое напряжение на проводах трехфазной линии электропередачи?

5.Чем можно объяснить полученную величину суммарной энергии электрического поля?

Моделирование электромагнитных полей c помощью PDE Toolbox вычислительной среды MATLAB

Краткая информация о пакете PDE Toolbox вычислительной среды MATLAB

MATLAB – это высокопроизводительный язык для технических расчетов. Она включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической.

Partial Differential Equation (PDE) Toolbox содержит средства для исследования и решения нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. В пакете используется метод конечных элементов. Команды и графический интерфейс пакета могут быть использованы для математического моделирования уравнений в частных производных применительно к широкому классу инженерных и научных приложений, включая задачи сопротивления материалов, расчеты электромагнитных устройств, задачи тепломассопереноса и диффузии.

Пакет PDE Toolbox встроен в MATLAB, инженеру предлагается работать с его функциями программируя в среде MATLAB. Тем не менее, PDE Toolbox также обладает и графическим интерфейсом, который позволяет работать с двухмерной моделью без навыков программирования. Следует отметить, что основные возможности программы все же представлены функциями, а графический интерфейс лишь дополнительное средство, которое не всегда удобно.

Работа GUI (графический интерфейс) PDE Toolbox аналогична другим программам. Она проходит этапы построения геометрической модели, задания граничных условий и свойств материалов, построения сетки конечных элементов, решения и визуализации результатов решения. В PDE Toolbox имеется возможность как решать уравнения в частных производных как в общем виде, так и специализированные уравнения задач расчета статического и стационарного электрического поля, постоянного магнитного поля и переменного электромагнитного поля.

Меню программы слева направо отражает этапы построения и решения модели. Кроме стандартных пунктов File, Edit и Options оно содержит:

− Draw – построение геометрии модели;

19

−Boundary – задание граничных условий;

−PDE – выбор уравнений, задание параметров уравнений;

−Mesh – построение сетки;

−Solve – решение задачи;

−Plot – визуализация результатов решения.

Переход к каждому из этапов осуществляется командой Mode в соответствующем меню.

Наиболее используемые команды представлены в панели инструментов:

− – включение режима граничных условий;

− – выбор параметров уравнений;

− – построение и сгущение сетки;

− – решение задачи;

− – параметры графиков;

− – увеличить масштаб (исходный масштаб восстанавливается по двойному клику мышкой);

− – выбор типа задачи (например, электростатика, магнитостатика и т.п.)

Построение геометрической модели

Перед началом работы в меню Options>>Axes Limits следует указать размеры расчетной области. Далее можно добавлять геометрические объекты. Нет необходимости стараться придать им сразу необходимое положение и размеры. Это можно сделать после двойного клика по объекту, после которого появится специальное окно для ввода параметров. Геометрический объект можно вращать с помощью команды Draw>>Rotate.

В режиме построения геометрической модели под панелью инструментов доступна для редактирования строка Set formula. Она определяет основную парадигму построения геометрической модели, которую можно проиллюстрировать на следующих примерах.

Для построения четверти круга следует нарисовать круг и квадрат из центра круга (рис. 1 а). Четверть круга определяется пересечением двух объектов. В математической логике пересечение находится как умножение двух множеств (логическое «И»). После ввода в строке set formula R1*E1 и перехода в режим граничных условий или режим PDE можно будет увидеть результат пересечения (рис. 1 б).

20

В PDE Toolbox невозможно задавать граничные условия на внутренних контурах. Так, для указания потенциала на электроде, например для цилиндрического конденсатора, контур электрода следует сделать внешнней границей. Сначала нужно нарисовать два соосных круга (рис. 2 а), а затем в Set formula вычесть из области внешнего круга область внутреннего круга: E1-E2 (рис. 2 б).

а) б)

Рис. 2. Построение модели цилиндрического конденсатора

Так, в Set formula из элементарных фигур формулой прописывается набор областей задачи. Дополнительно в режиме граничных условий можно бдует удалить лишние линии.

Задание граничных условий

Переход в режим ввода граничных условий происходит по команде Boundary Mode. Различаются внешние и внутренние линии (сегменты). На внешних границах можно установить граничные условия командой Specify Boundary Conditions, внутренние линии можно удалить командой Remove Subdomain Border.

Внешние границы В PDETool отображаются красными или синими криволинейными отрезками. Красный цвет указывает на заданные граничные условия Дирихле, а синий – Неймана. Стрелки на этих отрезках указывают положительное направление обхода.

Для того, чтобы диалоговое окно ввода граничных условий соответствовало типу задачи, его следует выбрать в панели инструментов. Для расчета постоянного магнитного поля (Magnetostatics) окно ввода граничного условия Дирихле показано на рис. 3, окно ввода граничного условия Неймана – на рис. 4. Для искусственной внешней границы используются параметры по умолчанию, как показано на рисунках.

21

Рис. 3. Окно ввода граничного условия Дирихле

Рис. 4 Окно ввода граничного условия Неймана

Выбор уравнений, задание параметров уравнений

На следующем этапе в режиме PDE Mode необходимо указать параметры уравнений, к которым относятся свойства материалов и источники поля. Под свойством материалов при расчете электрических и магнитных полей понимается электрическая и магнитная проницаемость. Под источниками – электрический заряд и плотность тока. Выбор уравнений для специализированных типов задач не производится.

Для удобства рекомендуется командой Show Subdomain Labels выбрать нумерацию областей. После этого для каждой области ввести необходимые данные. Для задач магнитостатики при двойном щелчке по области появляется диалоговое окно, как на рис.

5.

22

Рис. 5. Окно ввода параметров уравнений

Здесь необходимо задать абсолютную магнитную проницаемость среды μrμ0 и плотность тока для области проводника с током (для остальных областей плотность тока будет равна нулю).

Построение сетки, решение задачи, визуализация результатов

В режиме сетки кроме построения и сгущения сетки конечных элементов в меню Mesh имеется возможность показа номеров узлов и треугольников сетки. В параметрах можно указать максимальный размер сетки maximum edge size. Снизу отображается информация о количестве узлов и треугольников в сетке.

Пакет PDETool переходит в режим решения PDE задачи по команде Solve/Solve PDE. Когда заканчивается процесс решения, PDETool переходит либо в режим визуализации решения. Время решения и точность зависят от числа узлов, количества элементов, регулярности сетки, типа задачи и т.п. После решения задачи отображается график с картиной поля. График достаточно детально настраивается в окне параметров. Отображаемые физические величины перечислены в таблице 1.

Таблица 1. Перечень физических величин для визуализации

Дальнейшая работа проводится либо с графиками, либо в среде MATLAB, куда можно экспортировать входные и выходные данные расчета.

Лабораторная работа № 4. Анализ точности численного расчета постоянного магнитного поля двухпроводной линии

1. Цель работы

Ознакомиться с возможностями пакета PDE Toolbox MATLAB и проанализировать влияние размера сетки конечных элементов на точность расчета постоянного магнитного поля двухпроводной линии методом конечных элементов.

2. Теоретическая справка

Для анализа влияния размера сетки конечных элементов на точность расчетов методом конечных элементов целесообразно рассмотреть задачу, точное решение которой известно. Для этих целей рассмотрим задачу расчета постоянного магнитного поля

двухпроводной линии. Результирующий вектор магнитной индукции в произвольной точке можно определить по методу наложения как геометрическую сумму

23