ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2025
Просмотров: 873
Скачиваний: 2
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
4,2 |
− 2 |
3,2 |
+ |
2,2 |
+ |
3,3 |
− 2 |
3,2 |
− 100 |
0 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5,2 |
− 2 |
4,2 |
+ |
3,2 |
+ |
4,3 |
− 2 |
4,2 |
+ |
4,1 |
0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 2 5,2 |
+ 4,2 |
+ |
5,3 |
− 2 5,2 |
+ 5,1 |
0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
h2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,3 |
− 2 |
2,3 |
+ |
2,4 |
− 2 |
2,3 |
+ |
2,2 |
0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4,3 |
− 2 |
3,3 |
+ |
2,3 |
+ |
3,4 |
− 2 |
3,3 |
+ |
3,2 |
0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5,3 − 2 4,3 |
+ 3,3 |
+ |
4,4 |
− 2 4,3 |
+ 4,2 |
0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
h2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 2 |
5,3 |
+ |
4,3 |
+ |
5,4 |
− 2 |
5,3 |
+ |
5,2 |
0 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,4 |
− 2 |
2,4 |
+ |
− 2 |
2,4 |
+ |
2,3 |
0 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4,4 |
− 2 |
3,4 |
+ |
2,4 |
+ |
− 2 |
3,4 |
+ |
3,3 |
0 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5,4 |
− 2 |
4,4 |
+ |
1,4 |
+ |
− 2 |
4,4 |
+ |
4,3 |
0 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
h |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 2 5,4 |
+ 4,4 |
+ |
− 2 5,4 + 5,3 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение на сетке (серым отмечена расчетная область):
2,1 |
|||
4,1 |
|||
5,1 |
|||
2,2 |
|||
3,2 |
|||
4,2 |
|||
5,2 |
|||
2,3 |
|||
3,3 |
|||
4,3 |
|||
5,3 |
|||
2,4 |
|||
3,4 |
|||
4,4 |
|||
5,4 |
|||
−14.5 |
||||
−15.5 |
||||
− 5.7 |
||||
−14.5 |
||||
− 35.9 |
||||
−15.5 |
||||
− 5.7 |
||||
− 7.8 |
||||
−13.4 |
||||
− 5.0 |
||||
−1.7 |
||||
− 3.1 |
||||
− 4.8 |
||||
− 2.7 |
||||
−1.1 |
||||
В
В данной работе для решения системы линейных алгебраических уравнений будем пользоваться методом простой итерации. Реализация простейшего итерационного метода
—метода простых итераций — состоит в выполнении следующих процедур.
1.Исходная задача Ax = b преобразуется к равносильному виду:
x= αx+β
где α — квадратная матрица порядка n; β — столбец. Это преобразование может быть выполнено различными путями, но для обеспечения сходимости итераций нужно добиться выполнения условия ‖ ‖ .
2. Столбец β принимается в качестве начального приближения x(0) = β и далее многократно выполняются действия по уточнению решения, согласно рекуррентному соотношению
29
x(k+1) = αx(k)+β, k=0,1,2,…
или в развернутом виде
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
3. Итерации прерываются при выполнении условия
‖ ( ) |
( )‖ |
где ε >0 – заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи.
Пример
Получим систему линейных уравнений из предыдущего примера в виде x = αx+β:
(2,1)
(4,1)
(5,1)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(k +1) 2,1
(k +1) 4,1
(k +1) 5,1
(k +1) 2,2
(k +1) 3,2
(k +1) 4,2
5(,k2+1)
(k +1) 2,3
3(,k3+1)
(k +1) 4,3
(k +1) 5,3
(k +1) 2,4
3(,k4+1)
4(k,4+1)
5(,k4+1)
(k ) 2,2
(k ) 4,2
(k ) 5,2
1
4
1
4
1
4
14
1
4
14
1
4
1
4
1
4
141414
,
,
,
(k ) 3,2
(k ) 4,2
(k ) 5,2
(k ) 4,2
(k ) 3,3
(k ) 4,3
(k ) 5,3
(k ) 4,3
(k ) 3,4
(k ) 4,4
(k ) 5,4
(k ) 4,4
Начальное приближение
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
3,2 |
2,1 |
|||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
+ 100 |
, |
|||||
2,2 |
3,3 |
|||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||
3,2 |
4,3 |
4,1 |
||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
5,3 |
5,1 |
|||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
2,4 |
2,2 |
|||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||
2,3 |
3,4 |
3,2 |
||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||
3,3 |
4,4 |
4,2 |
||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
5,4 |
5,2 |
|||||||||
+ |
(k ) |
, |
||||||||
2,3 |
||||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
2,4 |
3,3 |
|||||||||
+ |
(k ) |
+ |
(k ) |
, |
||||||
1,4 |
4,3 |
|||||||||
+ |
(k ) |
. |
||||||||
5,3 |
||||||||||
3(,02) =100В, остальные потенциалы равны нулю.
30
Условия задачи
Рассмотрим силовой кабель на рабочее напряжение U с одной или двумя жилами (табл.1). В идеале проводники должны иметь общую ось или располагаться симметрично, однако в процессе изготовления или эксплуатации возможно смещение проводников на расстояние d, что может привести к пробою изоляции кабеля, если максимальная напряженность электростатического поля превысит допустимое значение.
3.Вопросы для коллоквиума
1.Каков алгоритм решения задач электромагнитного поля методом конечных разностей?
2.Как задаются граничные условия? Как задать однородное уравнение Неймана?
3.Опишите метод простой итерации? Как его применить для решения системы линейных алгебраических уравнений?
4.Назовите основные этапы расчета электростатического поля методом конечных разностей.
4.Рабочее задание
1.Нарисуйте в масштабе на бумаге в клетку (или на миллиметровке) модель согласно вариантам в табл. 1-4. Шаг дискретизации (шаг сетки) должен составлять не более 0,1R.
Таблица 1
Номер бригады |
Модель |
||
(номер компьютера) |
|||
R |
Жила c |
||
1 |
потенциалом U |
||
1 |
|||
1, 4, 7, … 3n+1
R |
Оболочка |
кабеля, U=0 |
|
d |
2, 5, 8, … 3n+2
Жила 1 c |
||
потенциалом U |
||
1 |
||
R |
Оболочка |
|
кабеля, U=0 |
||
R1 |
Жила 2 c |
|
d |
потенциалом -U |
1 |
31
3, 6, 9, … 3n
Жила 1 c |
|||
потенциалом U |
|||
1 |
|||
R |
Оболочка |
||
кабеля, U=0 |
|||
d |
R |
1 |
Жила 2 c |
потенциалом -U |
|||
d |
1 |
||
Таблица 2
Номер группы |
1, 2, 10, 18 |
3, 4, 11, 17 |
5, 6, 12, 16 |
7, 8, 15 |
9, 13, 14 |
||||||||||
R, мм |
10 |
20 |
30 |
40 |
45 |
||||||||||
d |
R/2 |
R/3 |
R/4 |
R/5 |
R/2 |
||||||||||
Таблица 3 |
|||||||||||||||
Номер бригады |
1, 6, 11, 16, |
2, 7, 12, 17, |
3, 8, 13, 18 |
4, 9, 14, 19 |
5, 10, 15, 20 |
||||||||||
(номер компьютера) |
21 |
22 |
|||||||||||||
R1 |
d/2 |
d/2,5 |
d/3 |
d/3,5 |
d/4 |
||||||||||
εr |
2 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
3 |
||||||||||
U1, В |
550 |
500 |
750 |
380 |
220 |
||||||||||
2.Определите оси симметрии и антисимметрии, расчетную область задачи (см. лабораторную работу №1). Определить граничные и внутренние точки, граничные условия. Отсчет точек рекомендуется начать с левого верхнего угла. Тогда координаты точек будут совпадать со строками и столбцами в таблицах (матрицах) со значениями потенциалов и напряженностей электрического поля. Координаты по оси x – i будут соответствовать столбцам матриц, координаты по оси y – j будут соответствовать строкам матриц.
3.По указанию преподавателя в вычислительной среде Mathcad или MATLAB используйте шаблон расчета электростатического поля силового кабеля методом конечных разностей. Для использования Mathcad откройте соответствующий файл. Для использования MATLAB скопируйте шаблон
лабораторной работы в блокнот и сохраните в файл «название файла латиницей».m в свою папку, откройте его в программе MATLAB. Шаблон:
%Самостоятельно сформируйте матрицу type с элементами:
%0 - внутренняя точка, 1 - граничная точка с заданным потенциалом (условие
%Дирихле), 2 - граничная точка с dfi/dn = 0(условием Неймана)
%Например:
%[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;
%2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1;
%2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1;
%1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1;
%1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;
%1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;
%1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1;
%1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1;
%2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;
32
%2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;
%1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;]
%и матрицу U заданного потенциала (для элементов с type = 1)
%Например:
% [0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0; |
% 0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0; |
% 0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0; |
%550 550 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
%550 550 550 0 0 0 0 0 0 0 0;
%550 550 550 0 0 0 0 0 0 0 0;
%550 550 550 0 0 0 0 0 0 0 0;
%550 550 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
% 0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0; |
||
% 0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0; |
||
% |
0 |
0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 0;] |
%--------------------------------------------------------------------------
% Введите сюда исходные данные (в системе СИ)
%--------------------------------------------------------------------------
h = _________;
% Матрицы type и U можно задать вручную с помощью команды new
%в окне Workspace и двойного клика на переменной. Если матрица создана %вручную, эти строки следует закомментировать (поставить знак %).
type = _______; U = __________;
%Начальное приближение
Phi_new = U;
%Метод простой итерации epsilon = 1;
I = size(type,1); J = size(type,2);
while epsilon >= 0.001
%Если цикл while не завершает работу, прервите его, нажав ctrl+C %или ctrl+break. Проверьте уравнения.
Phi_old = Phi_new;
for i = 1:I for j = 1:J
% Расчет для каждой точки в зависимости от ее типа
switch type(i,j) %при type=1 расчет проводить не надо, поскольку
%Phi(i,j) = U(i,j) case 0
%--------------------------------------------------------------------------
%введите сюда уравнение для внутренней точки
% Phi_new(i,j) = f(Phi_old); %--------------------------------------------------------------------------
Phi_new(i,j) = _________________; case 2
%--------------------------------------------------------------------------
33