ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2025
Просмотров: 872
Скачиваний: 2
составляющих этого вектора |
и от каждого провода в отдельности: |
|||||
(рис. 1). Модули векторов |
и определяются по формулам: |
|||||
d
r1 B2 |
B |
r2 |
1 |
I M B M I
Bmax Bmax
Рис. 1. Магнитное поле двухпроводной линии
Для целей анализа точности численного расчета будем рассчитывать максимальное значение магнитной индукции.
3.Вопросы для коллоквиума
1.Каковы особенности пакета PDE Toolbox?
2.Как в нем вводится геометрия модели, задаются граничные условия?
3.Как и какие указываются свойства материалов? Как и какие задаются параметры уравнений?
4.Какие вы ожидаете результаты влияния размера сетки на точность решения задачи?
4.Рабочее задание
1.Определите расчетную область, оси симметрии и антисимметрии задачи. Исходные данные даны в таблицах 1 и 2. Начертите схему задачи. Рассчитайте максимальное значение магнитной индукции, задавая ток в проводниках равным 1 А.
Таблица 1
Номер |
||||||||||||||||||||||
бригады |
1, 11, |
2, 12 |
3, 13 |
4, 14 |
5, 15 |
6, 16 |
7, 17 |
8, 18 |
9, 19 |
10, |
||||||||||||
(номер |
21 |
20 |
||||||||||||||||||||
компьютера) |
||||||||||||||||||||||
Rпровода, см |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||||||||||||
Таблица 2 |
||||||||||||||||||||||
Номер группы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|||||||||||||
d, см |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
26 |
|||||||||||||
Номер группы |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|||||||||||||
d, см |
28 |
30 |
32 |
34 |
36 |
38 |
40 |
42 |
44 |
|||||||||||||
24 |
||||||||||||||||||||||
2.Откройте MATLAB. Откройте PDE Toolbox. Для этого введите в командном окне pdetool, либо найдите пакет Partial Differential Equation в меню Start.
Постройте геометрическую модель.
3.Задайте граничные условия, свойства материалов (относительная магнитная проницаемость проводников и воздуха μ=1, магнитная постоянная μ0 = 4π·10-7 Гн/м). Рассчитайте и задайте плотность тока в проводнике, учитывая что она равномерна.
4.Сформируйте сетку конечных элементов и постройте картину поля векторов магнитной индукции. Проверьте, что максимальное значение магнитной индукции находится на границе провода.
5.Сохраните результаты численного моделирования с помощью команд
Solve>>Export Solution, Mesh>>Export Mesh. В основном окне MATLAB в
рабочей области Workspace появились массивы u – данные векторного магнитного потенциала в узлах сетки, p – координаты x,y узлов, e – информация о сторонах треугольников, t – номера узлов треугольников.
Двойным щелчком мыши откройте массив t и проверьте информацию об узлах треугольников. Для этого в режиме построения сетки выберите Show Node Labels, Show Triangle Labels. Зарисуйте 2-3 треугольника.
6.Известно, что вектор магнитной индукции находится через векторный
магнитный потенциал следующим образом: ( |
). Найдите |
|||
производные векторного магнитного потенциала. Для этого в командном окне MATLAB введите функцию вычисления градиента векторного магнитного потенциала в каждом треугольнике [ux,uy]=pdegrad(p,t,u);.
7.Введите выражение для расчета компонент вектора магнитной индукции Bx, By. Рассчитайте модуль вектора магнитной индукции: B = sqrt(Bx.*Bx + By.*By);.
8.Откройте массив B. Если все сделано правильно, в нем каждому треугольнику соответствует значение модуля вектора магнитной индукции. Найдите треугольник с максимальным значением магнитной индукции. Проверьте правильность решения по графику и с помощью выражения
[Bmax, triangle] = max(B).
9.В PDE Toolbox в режиме построения сетки определите количество узлов и треугольников сетки (при необходимости перестройте сетку). Нажмите кнопку сгущения сетки, запишите количество узлов и треугольников сетки. Засеките время решения задачи. Определите максимальное значение магнитной индукции. Повторите данный шаг несколько раз.
10.Постройте график зависимости точности расчета максимального значения магнитной индукции и времени решения задачи от количества треугольников сетки.
5.Вопросы к защите
1.Как размер сетки конечных элементов влияет на точность решения? Подтвердите результатами расчета.
2.В каком случае расчет покажет меньшее максимальное значение магнитной индукции: при густой или редкой сетке конечных элементов? Почему?
3.Имеет ли значение, в каком месте расчетной области задачи сетка густая, а в каком редкая? Можно ли сохранить точность расчета, уменьшив количество треугольников?
4.При каком расчете значение магнитной индукции больше? При численном или аналитическом? Почему?
25
5.Какие возможности пакета PDE Toolbox для расчета задач электромагнитного поля вы можете назвать?
6.Назовите основные этапы работы с пакетом PDE Toolbox.
26
Технология расчета электромагнитных полей численными методами
Лабораторная работа № 5. Технология расчета электростатического поля силового кабеля методом конечных разностей
1. Цель работы
Ознакомление с методом конечных разностей на примере моделирования электростатического поля в силовом кабеле.
2. Теоретическая справка
Алгоритм задач электромагнитного поля методом конечных разностей:
1.На область задачи накладывается прямоугольная сетка. Область задачи состоит из точек и становится дискретной (рис. 1).
Рис. 1. Область задачи
2.Внутренние точки, ближайшие к границе считаются граничными. Для открытой области граница вводится искусственно.
3.Дифференциальные уравнения Пуассона и Лапласа с частными производными заменяются на разностные уравнения.
− |
||||
2 |
||||
k |
k −1 |
k |
||
k +1 |
− |
|
k +1 |
− |
|||||
k |
− |
k |
+ |
k |
||
k , |
||||
−1 |
k +1 |
− 2 |
k |
|
+
k −1 |
|
,
x x |
k +1 |
− x |
k |
h
, y yk +1 − yk |
h , где h – шаг дискретизации, |
|
x2 |
h2 |
, y2 h2 |
h |
||
i,j+1 |
||
h |
||
i-1,j |
i,j |
i+1,j |
i,j-1 |
||||||||||||||||||
Рис. 2 Шаг дискретизации и координаты точек |
||||||||||||||||||
Для каждой точки (i,j) внутри области формируется уравнение: |
||||||||||||||||||
i+1, j |
− 2 |
i, j |
+ |
i−1, j |
+ |
i, j+1 |
− 2 |
i, j |
+ |
i, j−1 |
− |
/ . |
||||||
h |
2 |
h |
2 |
i, j |
r |
0 |
||||||||||||
Для каждой граничной точки (i,j) с заданным потенциалом (условие Дирихле):
i, j гр .
Для каждой граничной точки (i,j) с n 0 (условие Неймана) на горизонтальной
оси:
i, j i+1, j ,
27
на вертикальной оси:
i, j
i,
j+1
.
После формирования уравнения для каждой точки области сформирована система линейных уравнений, решение которой даст потенциал в каждой точке области.
Пример
Расчет электростатического поля заряженной двухпроводной линии. Плоскопараллельную задачу решаем для одной плоскости. Для любой другой параллельной плоскости решение будет совпадать.
y
U |
=100В |
U |
=-100В |
1 |
2 |
x
Рис. 3. Заряженная двухпроводная линия Нанесем на открытую область задачи сетку, искусственно ограничим ее границей. В
достаточном удалении от двухпроводной линии потенциал электрического поля можно считать равным нулю. Считаем, что граница области задачи достаточно удалена, потенциал на ней равен нулю. Ось y является осью антисимметрии. Потенциал на ней будет равен нулю. Ось x является осью симметрии, потенциал на ней удовлетворяет
условию Неймана
n |
0
.
Определим расчетную область задачи, определим граничные условия и пронумеруем точки области (рис. 4).
y |
граничные точки с нулевым |
|||||
5 |
потенциалом |
|||||
4 |
внутренние точки |
|||||
j |
3 |
|||||
2 |
||||||
1 |
x |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
i |
||||||
граничная точка с |
граничные точки с |
|||||
потенциалом U |
=-100В |
условием n 0 |
||||
2 |
||||||
Рис. 4. Расчетная область задачи
Запишем для каждой внутренней точки разностное уравнение (для снижения числа отображаемых переменных границу с нулевым потенциалом в уравнениях не учитываем).
(2,1) |
2,1 |
2,2 |
, |
Решение |
|||||
(4,1) |
4,1 |
4,2 |
, |
||||||
(5,1) |
5,1 |
5,2 , |
|||||||
(2,2) |
3,2 |
− 2 2,2 |
+ |
2,3 − 2 2,2 + 2,1 |
0 , |
||||
h2 |
|||||||||
h2 |
|||||||||
28 |
|||||||||