ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2025
Просмотров: 671
Скачиваний: 1
Есть некая функция, которая ограниченна см рисунок
Все сигналы имеют ограниченный спектр
Идеальная дискретизирующая функция представляет собой (бесконечный) двумерный массив Дельта-функций, расположенных в узлах прямоугольной регулярной сетки
comb x, y; x, y |
x m x, y n y |
m,n |
Комб-функция, эта дельта-функции, кот расставлены в узлах сетки Здесь еще добавлен щаг по х и по у дискретизация – это перемножение Фурье-образа и комб-функции
Проблема при проведении фильтрации: чтобы максимумы (кочки) не налезли друг на друга
Операция дискретизации есть произведение исходной функции на дискретизирующую
fS x, y f x, y comb x, y; x, y
f m x, n y x m x, y n y |
|
m,n |
Фурье-образ дискретизирующей (comb) функции есть функция, имеющая тот же вид, что и исходная
COMB 1, 2 F comb x, y; x, y
1 k xs , 2 l ys |
||||||||
xs ys |
||||||||
k ,l |
||||||||
comb |
, ; 1 |
x |
, 1 |
|||||
xs |
ys |
1 |
2 |
y |
||||
Пространственные частоты дискретизации по координатным направлениям равны величинам, обратным соответствующим шагам дискретизации
xs 1 x , ys 1 y
Чем меньше шаг, тем больше будет кси (пространственная частота; размерность 1/м)
Воспользуемся правилом, согласно которому произведение функций в исходном пространстве эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов
FS 1, 2 F 1, 2 COMB 1, 2
1 k xs , 2 l ys |
||||
xs ys |
F 1, 2 |
|||
k ,l |
||||
xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
|||
k ,l
Фурье-образ дискретизированной функции = операция свёртки Фурье-образа и комб-функции Кси (икс-эс) и кси (игрик-ес) – частоты дискретизации по х и у
Фурье-образ дискретизированной функции представляет собой периодическую (бесконечную) комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной) функции, продублированного в узлах сетки
Продублирована многократно
8.3 Восстановление непрерывной функции Если спектр исходного (непрерывного) изображения
может быть каким-либо образом восстановлен из спектра дискретного, то мы можем восстановить и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия
xs 2 x0 , |
ys 2 y0 |
что эквивалентно условию выбора шагов дискретизации, удовлетворяющих
x |
1 |
, |
y |
1 |
2 x0 |
2 y0 |
Применить к функции некий фильтр, убить Фурье-образы с высокочастотными составляющими и центры «кочек» должны быть удалены на расстояние 2 частоты дискретизации (лучше брать раз в 5 больше)
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной функции можно, применив идеальный низкочастотный фильтр со следующими характеристиками
1 |
, |
1, 2 |
|||||
H 1, 2 |
xs |
ys |
|||||
0, |
иначе |
||||||
При этом результат действия фильтра приводит к исходному Фурье-образу
~ |
1, 2 |
H 1, 2 FS |
1, 2 F 1, 2 |
F |
Привлекаем фильтрацию – как в тесте стаканом выдавливаем часть =) Должны перемножить 2 Фурье-образа и при этом получим исходный только в том случае, если ничего не возьмём от другого (никаких частот-) «горбика»
8.4 Частота Найквиста Нижние границы пространственных частот,
при которых возможно сохранение (восстановление) спектра исходной функции
2 x0 , 2 y0
называются (пространственными) частотами Найквиста (Котельникова)
Теория дискретизации констатирует, что функция
сограниченным спектром, дискретизированная
счастотой выше частоты Найквиста, может быть восстановлена без ошибки с помощью простейшего (идеального) низкочастотного фильтра
Если же условие не выполняется, т.е. xs 2 x0 , ys 2 y0 то (соседние) Фурье-образы будут накладываться друг
на друга, тем самым искажая исходный спектр
Если область “поддержки” низкочастотного фильтра представляет собой прямоугольник
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||
xs |
, |
xs |
ys |
, |
xs |
|||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
то его импульсный отклик есть произведение SINC-функций
h x, y sin c x xs sin c y ys
Если хотим применить прямоугольный импульс (идеальный НЧ), то исходная функция (передаточная функция) будет предоставлять сбой синк (в двумерном случае синк*синк)
Обратное Фурье-преобразование реконструирует изображение по формуле
~ |
x, y |
|
f |
f m x, n y sin c x xs m sin c y ys n |
|
m,n |
результат будет совпадать с исходной функцией, если выполняется условие дискретизации Найквиста-Котельникова
Если работаем с функцией в дискретном виде, то функция существует лишь в узловых точках.
Запомните эту формулу!!!! =)
8.5 Теорема дискретизации Двумерная (непрерывная) функция с ограниченным спектром f x, y
может быть однозначно (безошибочно) восстановлена из дискретной f m x, n y
при условии, что шаги дискретизации выбраны из условия
1 |
xs 2 x0 , |
1 |
ys 2 y0 |
|||||||||
y |
||||||||||||
x |
||||||||||||
Восстановление функции проводится по |
||||||||||||
интерполяционной формуле |
||||||||||||
f x, y |
sin x |
m sin y ys n |
||||||||||
xs |
||||||||||||
f |
m x, n y |
|||||||||||
y ys |
n |
|||||||||||
x xs |
m |
|||||||||||
m,n |
||||||||||||
Здесь синк записан через синус Только в том случае, если угадали с частотой дискретизации
Задача
Изображение описывается функцией f x, y 2 cos 2 3x 4y
Дискретизация функции проводится |
|
со значениями интервалов дискретизации x 0.2, |
y 0.2 |
Восстановить функцию после дискретизации |
В задании заведомо выбран шаг дискретизации, не отвечающий теореме Котельникова. От (-2 до +2) периодическая, с разной частотой На эту функцию обрушиться своим дискретизатором!
Решение |
F 1, 2 1 3, 2 |
4 1 3, 2 4 |
|||||||||||
Фурье-образ заданной функции |
|||||||||||||
Откуда x0 3, |
y0 4 |
1 |
1 |
||||||||||
Частоты дискретизации |
xs |
5, |
ys |
5 |
|||||||||
x |
y |
||||||||||||
меньше частоты Найквиста-Котельникова |
2 x0 , |
2 y0 |
|||||||||||
Найдем спектр дискретизированного изображения: |
|||||||||||||
FS 1, 2 xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
||||||||||||
k ,l |
|||||||||||||
25 1 3 5k, 2 4 5l 1 3 5k, 2 4 5l |
|||||||||||||
k ,l |
|||||||||||||
Применим низкочастотный фильтр |
|||||||||||||
1 |
1 |
, 2.5 1 |
2.5, |
2.5 2 2.5 |
|||||||||
xs ys |
|||||||||||||
H 1, 2 |
25 |
||||||||||||
0, |
иначе |
||||||||||||
Найдем спектр дискретизированного изображения: |
|||||||||||||
FS 1, 2 xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
||||||||||||
k ,l
25 1 3 5k, 2 4 5l 1 3 5k, 2 4 5l
k ,l