Файл: Тер.Мех.docx

Оператор угловой скорости характеризует быстрому изменению ориентации АТТ формула =принимает вид=, т.к.-, получаем

(*)Это формула Эйлера( в операторной записи)

Вывод: мгновенное движение АТТ задано, если известны вектори оператор.

28.Теорема об антсимметричности оператора угловой скорости. Вектор угловой скорости; формула Эйлера в векторной записи. Траектории и скорости телесных точек при сфкрическом движении.

Теорема: оператор угловой скорости антисимметричный: =-

Док-во: в силу ортогональности =, дифференцируем поt +=0

Вычисляем ===,

Вектор , сопоставляемый антисимметричному операторупо формуле=[] называется вектором угловой скорости АТТ.

Если - един-ные векторы системы коорд.xyz, то =++, а матрица=

Вектор изменения ориентации АТТ

Это свободный вектор, т.к. его компоненты выражаются только через направление cos и их производных, а от выбора полюса не зависит

, это формула Эйлера в векторной записи, была получена в 1765 году.

Движение АТТ сферическое, если одна из телесных точек неподвижна, поскольку текущее положение О этой точки О* не изменяется с течением времени, то О можно принимать за

начало неподвижной системы координат.

Выберем точку О* за полюс, тогда =*, где*=

Вывод: соотношения =(t) определяет закон сферического движения тела

Из услвия IОВI=const следует, что траектории телесных точек при сферическом движении лежат на концентрических сферах

При сферическом движении принимает вид (*)

.

При сферическом движении АТТ:

-мгновенное движение в любой момент времени-мгновенное вращение, ось которого всегда проходит через точку О;

-распределение скоростей телесных точек задается формулой (*).

29.Плоское движение АТТ. Матрица направляющих косинусов при таком движении. Вывод соотношений для координат двух телесных точек при плоском движении.

Движение АТТ – плоское (или плоскопараллельное), если все телесные точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (плоскость движется).

Траектории телесных точек при этом- плоские кривые.

Примем за плоскость движение Oxy ту из параллельных плоскостей, в которой движется полюс А*

Точки тела, движущегося в этой же плоскости, образуют плоскую фигуру.

Вывод: Изучение плоского движения АТТ сводится к изучению движения плоской фигуры.

Здесь Аx’, Ay’,Az’-текущее положение осей А*х*, А*у*, А*z* (ось Az’ сонаправлена оси Оz)

Угол ϕ-угол поворота тела, отсчитывается от направляющей оси Ох до оси Ax’ в положительную сторону.

Перейдем у метрической записи основной формулы геометрии движения:=*, где*=.

Для чего введем столбцы: =,=,=

Получаем (*)=+

Сейчас =0

Напр. косинусов =cos(=cos ϕ

=cos(=-sinϕ

=cos(=sinϕ

=cos(=cosϕ

=cos(=cos 0=1

Остальные cos=0(векторы ортогональны)

Г=Вывод: соотношенияопределяют закон плоского движения тела, при этом координаты т. В в силу (*) можно найти по формулам

(**)

Для точек плоской фигуры

30. Вывод формул для компонент оператора и вектора угловой скорости при плоском движении. Получение соотношений для проекций скоростей двух телесных точек.

Для оператора угловой скорости АТТ имеем=

В матричной форме

(*)==

Матрица Г при плоском движении Г=

Вычисляем =cos

.

Поэтому =

У матрицы 3-я строка нулевая, поэтому в силу (*)=0.

Т.к. на 1-й столбец(т.е. на первую строку Г):

(ϕ ̇cos ϕ)ϕ-sin⁡ϕ(-sin⁡ϕ )

=0,

Ед. для

Вывод: угловая скорость АТТ в плоском движении – вектор , где

Для оператора угловой скорости: =, а в матричной записи=

Пусть теперь скоростьj-ого тела, а телесные точки А* и В* движутся в плоскости движения Оxy. Пусть – угол, образуемый направленным отрезкомс положительным

направлением оси Ох.

Т.к. ≡0,≡0, то=0 и=0

Переход от А к В представим графом (1) А

Подставим теперь в ф-лу Эйлера

В матричной записи (2) =+

Здесь =,=,,=

Переходя к компонентной записи из (2) получаем

,

Эти формулы соответствуют графу (1).

Аналитический метод решения задач кинематики

Пример составного графа:

А

Распишем данный граф:

(1)

Соотношения (1) верны при следующем основном дополнении – скорости тех точек j-ого и k-ого тел, текущим положение которых служит т. В

Порядок решения типичных задач:

1. Выбрать кинематический граф, с которым связано не более 2-х неизвестных кинематических величин.

2. Составить кинематические соотношения для выбранного графа.

3. Учесть связи в концевых точках графа.

4. Решить полученные кинематические ур-я.

5. Если не все неизвестные найдены, вернуться к 1.