Файл: высшая математика ч3.pdf

−

x+ y

2

+

a2

−

1

1 x

π

a

a

r

2

2. Вычислить а) ∫ dx ∫ dy ∫ dz ; б)

∫ dϕ∫ rdr

∫ dz .

0

0

xy

0

0

r

x = 0 ,

y = 0 ,

3. Найти объем тела, ограниченного

поверхностями

z = 0 , x + y + z = 6 .

4. Найти объем тела, ограниченного

поверхностями

z = x 2 + y 2 и

z 2

= x 2 + y 2 .

5. Найти

объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 4 − y 2 ,

y =

x 2

.

2

10.3.5. Ответы

A

−

1−x2 − y2

1 1−x

1 x

y

1

1−x

2

−

∫ f (x; y; z)dz =

1. а) ∫ dx ∫ dy ∫ f (x; y; z)dz ;

б) ∫ dx

∫ dy

0

0

0

−1

−

0

1−x2

2π 1

1−r 2

7

πa

3

π

∫ dϕ∫ rdr

∫ f (r cos ϕ; r sin ϕ; z)dz .

2.

а)

;

б)

.

3. 36 .

4. .

24

4

0

0

0

6

5. 12

4

.

21

11.1.1. Определение и свойства КРИ1

Пусть в каждой точке гладкой кривой AB (или

L )

плоскости

Oxy задана непрерывная функция

двух

переменных z = f (x; y) .

Разобьем

AB

на n частей точками

A = M 0 ,

M1 ,…,

M n = B . На

( i =

),

каждой

дуге

M i−1M i ,

длина которой

li

1, n

выберем

произвольно точку Ci (xi ; yi ) .

Составим

сумму

Sn = f (C1 )

l1 + f (C2 )

l2 + ... + f (Cn ) ln =

n

n

= ∑ f (Ci ) li =

∑ f (xi ; yi )

li . Эта сумма называется интегральной

i=1

i=1

суммой первого рода. Пусть d = max

li –

наибольшая из длин дуг

M i−1M i ( i =

).

1, n

n

lim ∑ f (xi ; yi ) li = ∫ f (x; y)dl .

d →0 i=1

AB

Если функция f (x; y)

непрерывна на AB , то тот предел всегда

Однако есть отличие ∫ f (x; y)dl =

∫ f (x; y)dl , т. е. криволинейный

AB

BA

b

∫ f (x; y)dl = ∫ f (x; j(x)) 1 +

[j'(x)]2 dx .

(11.1)

L

a

x = x(t) ,

2.

Если кривая

L задана параметрически, т. е. в виде

y = y(t) , где x(t) ,

y(t)

– непрерывно дифференцируемые функции на

промежутке t [α;β], то

β

∫ f (x; y)dl = ∫ f (x(t); y(t))

[x'(t)]2 + [y'(t)]2 dt .

(11.2)

L

α

задана уравнением r = r(ϕ) ,

α ≤ ϕ ≤ β в

3.

Если

кривая

L

полярных координатах, то

β

∫ f (x; y)dl = ∫ f (r cos j; r sin j)

r 2

+ (rϕ' ) 2 dj.

(11.3)

L

α

11.1.3. Примеры решения задач

Пример 1А. Вычислить криволинейный интеграл

∫

x

dl , где

L

y

L – дуга параболы y 2

= 2x между точками A(2; 2) и B(8; 4) .

Решение. Кривая L –

дуга параболы –

изображена на рис. 11.1.

y =

для x [2; 8]. Используем формулу (11.1) для

Уравнение L –

2x

вычисления криволинейного интеграла. Найдем y'=

1

, тогда

2x

8

8

8

x

x

1

x

1

(2x + 1) 12 ×

1

(1 + 2x) =

∫

dl =

∫

1 +

dx = ∫

dx =

∫

d

2x + 1

L

y

2

2x

2x

2

2x

2

2

2

1 2(2x + 1)3 2

8

1

3

3

1

[17 17 - 5 5

].

=

=

(16 + 1) 2 - (4 +

1)

2 =

4

3

6

2

6

Пример 2А. Вычислить криволинейный интеграл ∫ (x 2 + y 3 )dl ,

L

где L –

контур

треугольника

ABO

с вершинами

A(1; 0) , B(0;1) ,

O(0; 0) .

∫ (x 2 + y 3 )dl = ∫ (x 2 + y 3 )dl +

Решение.

Поскольку

L

AB

+ ∫ (x 2 + y 3 )dl + ∫ (x 2 + y 3 )dl ,

то остается вычислить криволинейный

BO

OA

интеграл по каждому из отрезков AB ,

BO , OA (рис. 11.2)

1)

AB : так как

уравнение прямой AB

имеет

вид y = 1 − x ,

x [0;1], то dl =

1 + ( y') 2 dx =

1 + (-1) 2 dx =

2dx . Тогда

2

3

1

2

3

x3

(1 - x) 4

1

7

∫ (x + y )dl = ∫ [x + (1 - x) ] 2dx = 2

-

4

=

2 .

AB

0

3

0

12

2)

BO : отрезок BO лежит на оси Oy , поэтому x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1,

1

1

dl = dy и ∫ (x 2 + y 3 )dl = ∫ y 3dy =

.

BO

0

4

1

1

3) OA : y = 0 , 0 ≤ x ≤ 1, dl = dx и ∫ (x 2 + y 3 )dl = ∫ x 2 dx =

.

OA

0

3

Окончательно ∫ (x 2 + y 3 )dl =

7

+

1

+

1

=

7

2

+1) .

(

2

L

12

4

y

3

12

y

1

B

B

4

2

A

1

0

2

Рис. 11.1

8

x

0

A

x

Рис. 11.2

Пример 3А. Вычислить криволинейный интеграл ∫

x 2 + y 2 dl ,

L

где L –

окружность x 2 + y 2 = R 2 .

Решение. Введем полярные координаты x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .

Тогда,

поскольку x 2 + y 2 = R 2 , то уравнение окружности примет вид

r = R ,

r'= 0 ,

дифференциал дуги dl =

r 2 + (r') 2 dj =

R 2 dj = Rdj.

При этом ϕ [0; 2π]. Следовательно, ∫

2π

x 2 + y 2 dl = ∫ R × Rdj = 2pR 2 .

L

0