Файл: высшая математика ч3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 484

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10.2.1. Задачи для самостоятельного решения

А

1.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

y 2 = 2x

и прямой

y = x .

2.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

y = 2x 2

и прямой

y = 2 .

3.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2 = 10x + 25

и

y 2 = −6x + 9 .

4.

Найти

площадь

фигуры, ограниченной линиями x 2 + y 2 = 2x ,

x 2 + y 2 = 4x , y = x , y = 0 .

y =

5.

Найти

объем

тела, ограниченного поверхностями

x ,

y = 2 x , x + z = 4 , z = 0 .

6.

Найти

объем тела,

ограниченного

поверхностями

z = x 2 + y 2 ,

y = x 2 , y = 1, z = 0 .

7.

Найти

объем тела,

ограниченного поверхностями

x = 0 , y = 0 ,

z = 0 , z = x 2 + y 2 , x + y = 1.

Б

8.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x 2 + y 2 − 2 y = 0 ,

x 2 + y 2 − 2x = 0 .

9.

Найти

объем тела,

ограниченного

поверхностями

2z = x 2 + y 2 ,

x 2 + y 2 + z 2 = 3 (внутри параболоида).

10.2.2. Ответы

A

1.

2

. 2.

8

. 3.

16

3

π +

3

. 5.

128

. 6.

88

. 7.

1

.

15

. 4.

3

3

3

4

2

15

105

6

Б

8.π − 1. 9. π (63 − 5) . 2 3

39

10.3.Тройной интеграл

10.3.1.Основные теоретические сведения

Пусть

в

пространственной области

V R 3

определена

и

непрерывна

функция

трех

переменных

u = f (x; y; z) .

Разобьем

область V

на n

произвольных областей V1 , V2 ,…,

Vn , с объемами

( i =

)

V1 ,

V2 ,…,

Vn . В каждой области Vi

1, n

выберем

произвольную точку Ci (xi ; yi ; zi ) и составим интегральную сумму

= f (C1 ) V1 + f (C2 )

V2 + ... + f (Cn )

n

Sn

Vn

= ∑ f (Ci )

Vi .

i=1

Если

существует

конечный

предел

последовательности

интегральных сумм Sn при условии стремления к нулю

наибольшего из диаметров di

областей Vi (и n → ∞ ), не зависящий

от способа разбиения области V на области Vi

и выбора точек Ci ,

то

этот

предел называется

тройным

интегралом

от

функции

u = f (x; y; z) по области V и обозначается

∫∫∫ f (x; y; z)dV

или ∫∫∫ f (x; y; z)dxdydz =

n

lim

∑ f (xi ; yi ; zi ) Vi .

(n→∞)

V

V

max di →0 i=1

10.3.2. Вычисление тройного интеграла

Пусть

функция трех переменных

u = f (x; y; z)

определена

и

непрерывна в пространственной области V , которая ограничена

сверху

поверхностью

z = z2 (x; y) ,

а

снизу

–

поверхностью

z= z1 (x; y) , где функции z1 (x; y) и z2 (x; y) определены и непрерывны

вобласти D Oxy (рис. 10.18).

Тогда вычисление тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево) вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные x и y считаются при этом

константами) и двойного интеграла от того, что получится, по области D .

∫∫∫ f (x; y; z)dxdydz = ∫∫ dxdy

z2 ( x; y)

∫ f (x; y; z)dz .

(10.9)

V

D

z1 ( x; y)

40

Получившийся двойной интеграл можно вычислять как в декартовой, так и в полярной системе координат.

z

z = z2 (x; y)

V

0

z = z1 (x; y)

y

x

D

Рис. 10.18

При вычислении тройного интеграла можно выбирать и другой порядок интегрирования.

Пример 1А. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ xydxdydz , где V

–

V

область, ограниченная поверхностями z = x 2 + y 2 , x = 2 , y = 2

и

координатными плоскостями.

Решение. Область V представлена на рис. 10.19. Поверхность z = x 2 + y 2 – параболоид вращения, ограничивает область V сверху. Снизу область V ограничена плоскостью Oxy . Поверхность x = 2 – плоскость, параллельная плоскости zOy , y = 2 – плоскость,

параллельная плоскости zOx . Проекцией области V на плоскость Oxy будет квадрат (рис. 10.20) – область D .

z

y

2

D

V

2

0

2

y

x

0

2

x

Рис. 10.19

Рис. 10.20

По формуле (10.9) имеем

41

x2 + y

2

x2 + y2

∫∫∫ xydxdydz = ∫∫ dxdy

=

∫ xydz = ∫∫ xy z

0

dxdy

V

D

0

D

2

2

= ∫∫ xy(x 2 + y 2 )dxdy = ∫∫ (x3 y + xy 3 )dxdy = ∫ dx∫ (x3 y + xy3 )dy =

D

D

0

0

2

2

2

y

4

2

2

4

2

=

∫

x

3

y

+ x

dx =

∫

(2x3 + 4x)dx =

x

+ 2x 2

= 8 + 8 = 16 .

2

4

0

0

2

0

0

0

Пример 2А. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫(x + y)dxdydz , где

V

V

–

область,

ограниченная поверхностями z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4

( x ³ 0 , y ³ 0 ), z = 0 .

Решение. Область V представлена на рис. 10.21. Поверхность

z = x 2 + y 2

–

параболоид вращения, который сверху ограничивает

область V ,

снизу область V

ограничена плоскостью Oxy (так как

z = 0 ). Поверхность x 2 + y 2 = 4 – цилиндрическая, направляющей у которой является окружность радиуса R = 2 . Так как x ³ 0 , y ³ 0 , то

рассматриваются части поверхностей в первом октанте. По формуле (10.9) имеем

x2 + y2

∫∫∫(x + y)dxdydz = ∫∫ dxdy

∫ (x + y)dz = ∫∫(x + y)(x 2 + y 2 )dxdy .

V

D

0

D

Так как областью интегрирования D является четверть круга (рис. 10.22), то удобно перейти к полярным координатам: x = r cos ϕ ,

y = r sin j . Тогда уравнение окружности x 2 + y 2 = 4 . r = 2 ,

0 ≤ ϕ ≤ π , 0 £ r £ 2 , dxdy = rdjdr .

2

z

y

2

V

D

0

2

y

2

x

0

2

x

Рис. 10.21

Рис. 10.22

42

∫∫ (x + y)(x 2 + y 2 )dxdy = ∫∫ (r cos ϕ + r sin ϕ)r 2 rdϕdr =

D

π

D

2

= ∫∫ r 4 (cos ϕ + sin ϕ)dϕdr =

2

∫

dϕ∫ r 4 (cos ϕ + sin ϕ) dr =

D

0

0

π

2

2

4

π

2

5

2

r

= ∫ (cos ϕ + sin ϕ) dϕ∫ r

dr =

∫

(cos ϕ + sin ϕ)

dϕ =

5

0

0

0

0

π

0π

32

2

32

(sin ϕ − cos ϕ)

2 =

64

=

∫ (cos ϕ + sin ϕ) dϕ =

.

5

0

5

5

10.3.3. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

Если в тройном интеграле (10.9)

f (x; y; z) = 1 в области V , то

этот интеграл определяет объем области V

V = ∫∫∫dxdydz .

(10.10)

V

Пример 1А. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

2z = x 2 + y 2 , z = 2 .

Решение. Данное тело представлено на рис. 10.23. Тело

ограничено снизу параболоидом вращения

2z = x 2 + y 2 , сверху –

плоскостью z = 2 , которая пересекает параболоид по окружности x 2 + y 2 = 4 .

Так как область D – круг (рис. 10.24), то при вычислении двойного интеграла переходим к полярным координатам: x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

x 2 + y 2 = 4 ,

r = 2 ,

0 ≤ ϕ ≤ π ,

0 ≤ r ≤ 2 , dxdy = rdϕdr .

2

x 2

+ y

2

Тогда V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ dxdy

−

∫ dz = ∫∫ 2

2

dxdy =

V

D

x2 + y2

D

2

r 2

2π 2

r 3

r 2

r

4

2

2π

= ∫∫

−

∫ dϕ∫

2r

−

∫

2

−

dϕ =

2

2

rdϕdr =

2

dr =

8

D

0 0

0

2

2π

02π = 4π .

0

= ∫ (4 − 2)dϕ = 2ϕ

0

43

Смотрите также файлы