Файл: высшая математика ч3.pdf

находится по формуле

dz =

∂z dx +

∂z dy . Найдем частные

∂z = (x 2 y 3 )'x

¶x

¶y

∂z = (x2 y 3 )'y =

производные:

= y 3 (x 2 )'x

= y 3 × 2x = 2xy 3 ,

¶x

¶y

z xx'

= (z x'

)'x

= (20x 4

+ 6 yx + 3y 2 )'x

= 80x3 + 6 y ;

z xy'

= (z x'

)'y

= (20x 4

+ 6 yx + 3y 2 )'y

= 0 + 6x + 6 y = 6x + 6 y ;

z yx'

= (z 'y )'x = (3x 2 + 6xy - 4 y 3 )'x = 6x + 6 y ;

z yy'

= (z 'y )'y = (3x 2 + 6xy - 4 y 3 )'y = 6x -12 y 2 .

¶2u

+

¶2u

= 0 .

¶x 2

¶y 2

Решение.

Найдем

сначала

частные

производные

первого

¶u

x

'

используемформулу

порядка:

= (e

=

=

¶x

(x cos y - y sin y)) x

(uv)

'

'

'

= u v + uv

= (e x )'x (x cos y - y sin y) + e x (x cos y - y sin y)'x

= e x (x cos y - y sin y) +

+ e x (cos y - 0) = e x (x cos y - y sin y + cos y) ;

∂u

= (e x (x cos y - y sin y))'y

= e x (x(cos y)'y

- ( y)'y sin y - y(sin y)'y ) =

¶y

∂ 2u

∂

∂u

x

'

x

'

∂x 2

=

= (e

(x cos y − y sin y + cos y)) x

= (e

) x

(x cos y −

∂x

∂x

− y sin y + cos y) + e x (x cos y − y sin y + cos y)'x

= e x (x cos y − y sin y + cos y) +

+ e x (cos y − 0 + 0) = e x (x cos y − y sin y + 2 cos y) .

∂ 2u

=

∂

∂u

= (e x (−x sin y − sin y − y cos y))'

= e x (−x(sin y)

'

−

2

y

∂y

∂y

∂y

1. z = 3x 2 + 4 y 2 .

1

2. z = 9 − x 2 − y 2 .

3. z =

.

16

− x 2 − y 2

Построить линии уровня функций.

4. z = 2x + y .

5. z = x 2 + y 2 .

6. z =

y

.

Найти частные производные первого порядка.

x 2

7. z = x3 + 3x 2 y − 6xy 3 + y 5 − 7 .

8. z = r 2 cos ϕ . zr' , zϕ' – ?

z x' ,

z 'y –?

9. z = 3x 2 + 5xy − y 3 + 1. z x' , z 'y – ?

10.

u t

.

'

'

u = ln(e s + et ) . us' , ut' – ?

z = e

zu

, zt – ?

11.

12.

u = arctg(rϕ) . ur' , uϕ' – ?

13.

z = (7x3 y 2 − 7 y + 3x)3 . z x' , z 'y

– ?

14.

x y

.

'

'

z = 2

z x

, z y – ?

15.

u = sin(ϕ t + 2ϕ − 3t) . ut', uϕ' – ?

16.

z = xy +

x

. z x' , z 'y – ?

y 2

17.

z = u v . zu' , zv'

– ?

18.

θ = axe −2t + bt . θ'x , θt' – ?

19.

z = arcsin

y

. z x' ,

z 'y – ?

20. z = sin

y

cos

x

. z x' , z 'y – ?

x

x

y

Найти полные дифференциалы функций.

21.

z = ln(x 4 + y 4 ) .

22. r = sin(ϕ2 + t 2 ) .

23.

z = eut .

24.

z = arcsin(xy 3 ) .

25. z = ctg

y

.

26.

z = 5xy3 + 3x 2 y 5 + 2 .

x

Найти все частные производные второго порядка функций.

27.

z = y3 − x 2 y + x3 .

28. z = x 4 − xy + y 2 + 9x − 6 y + 15 .

29.

z = x

− y 2 − 3x 2 + 6 y .

30. z = ln(x − 2 y) .

y

центром в начале координат и

радиусом

R = 4 .

4.

2x + y = C

–

прямые,

параллельные

прямой

2x + y = 0 .

5.

x 2 + y 2 = C

–

окружности при C > 0 . 6.

y = Cx 2

– параболы. 7. z x'

= 3x 2 + 6xy − 6 y 3 ,

z 'y

= 3x 2

− 18xy 2

+ 5 y 4 . 8.

zr' = 2r cos ϕ , zϕ' = −r 2 sin ϕ . 9.

z x' = 6x + 5 y ,

z 'y

= 5x − 3y 2 .

10. zu'

=

1

eu t ,

zt' = −

u

eu t .

11. us'

=

e s

,

t 2

e s

+ et

t

=

et

ur' =

ϕ

=

r

ut'

. 12.

, uϕ'

.

+ r 2ϕ2

e s + et

1 + r

2ϕ2

1

13.

z x'

= 9(7x3 y 2 − 7 y + 3x)2 (7x 2 y 2 + 1) ,

z 'y

= 3(7x3 y 2 − 7 y + 3x) ×

× (14x3 y − 7) .

14. z x' =

1

x

z 'y = −

x

x

2

y ln 2 ,

2

y ln 2 .

y

y 2

15.

ut'

= (ϕ − 3) cos(ϕ t + 2ϕ − 3t) ,

uϕ'

= (t + 2) cos(ϕ t + 2ϕ − 3t) .

16.

z x'

= y +

1

,

z 'y

= x −

2x

.

17. zu'

= vu v−1,

zv'

= u v ln u .

y 2

y 3

− y

18.

θ'x

= ae −2t ,

θt' = −2axe−2t + b . 19. z x' =

, z 'y =

1

.

x x 2 − y 2

x 2 − y 2

20.

z x'

= −

y

cos

y

cos

x

−

1

sin

y

sin

x

,

x 2

x

y

y

x

y

4x3dx + 4 y 3dy

z 'y

=

1

cos

y

cos

x

+

x

sin

y

sin

x

. 21. dz =

.

x

x

y

y 2

x

y

x 4 + y 4

22.

dr = 2ϕ cos(ϕ2 + t 2 )dϕ + 2t cos(ϕ2 + t 2 )dt .

23.

dz = teut du + ueut dt . 24. dz =

y 3dx + 3xy 2

dy

.

1 − x 2 y 6

25.

dz =

ydx

−

dy

.

26. dz = y 3 (5

+ 6xy 2 )dx +

x

2

sin

2 y

x sin

2

y

x

x

+ 15xy 2 (1 + xy 2 )dy . 27. z xx'

= −2 y + 6x , z xy'

= z yx' = −2x , z yy'

= 6 y .

28.

z xx'

= 12x 2 , z xy' = z yx' = −1, z yy'

= 2 . 29.

z xx' = −6 , z xy' = z yx' =

1

,

2

y

z yy'

= −

x

− 2 . 30. z xx' = −

1

, z xy' = z yx' =

2

,

(x −

− 2 y)

4 y 3

(x

2 y)2

2

z yy''

=

− 4

.

(x −

2 y) 2