Файл: высшая математика ч3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 480

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5.

Перейти

к

полярным

координатам

в двойном

интеграле

∫∫ f (x; y)dxdy , где а)

D –

x 2 + y 2 ≤1 ; б)

D –

кольцо 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 .

D

dxdy , переходя

6.

Вычислить

∫∫

9 − x2 − y 2

к

полярным

x 2 + y 2 ≤9

координатам.

Б

4

2

1

7.

Вычислить ∫ dx∫

dy .

3

1 (x + y)2

1

2 − y

8.

В интеграле ∫ dy

∫ f (x; y)dx изменить порядок интегрирования.

0

y

9.

Вычислить ∫∫(x + y)dxdy , где D – область, ограниченная линиями

D

x = 0 , y = x2 + 2x − 3 , 2 y = 3x .

dxdy , где

10. Вычислить

∫∫

4 − x2 − y 2

D –

область, ограниченная

D

линией x 2 + y 2 = 2x .

a

a 2 − x 2

e x 2 + y 2 dy .

11. Вычислить ∫ dx

∫

0

0

10.1.6. Ответы

A

2π

2

1

2

752

11

1

1. а)

; б)

. 2.

π . 3.

. 4.

. 5. а) ∫ dϕ∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr ;

a

a

3

2

3

5

12

0

0

2π

2

б)

∫ dϕ∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr . 6. 18π .

0

1

Б

25

1

x

2

2 − x

208

16 π

2

7.

ln

. 8. ∫ dx∫ f (x; y)dy + ∫ dx ∫ f (x; y)dy . 9.

. 10.

−

.

24

0

0

1

0

15

3 2

3

11.π (ea 2 − 1) . 4

35

10.2. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур

Справочный материал (простейшие поверхности и их уравнения)

1.Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

2.Уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат:

x2 + y 2 + z 2 = R2 .

3.Уравнение параболоида вращения z = x2 + y 2 (рис. 10.11).

4.Уравнение конической поверхности вращения: z 2 = x2 + y 2

(рис. 10.12).

z

z

0

y

0

y

x

x

Рис. 10.12

Рис. 10.11

5. Уравнение цилиндрической

поверхности с образующими,

параллельными оси Oz , и направляющей F (x; y) = 0 : F (x; y) = 0 .

Например,

функция

y = x 2

в пространстве

задает

цилиндрическую

поверхность

с направляющей параболой

y = x 2 ,

лежащей в плоскости Oxy , и образующими, параллельными оси Oz

(рис. 10.13).

Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур

1.

Если D – ограниченная область

плоскости Oxy , то ее

площадь S вычисляется по формуле

S = S (D) = ∫∫ dxdy .

(10.6)

D

2.

Если V – цилиндрическое

тело с образующими,

параллельными оси Oz , ограниченное снизу областью D , а сверху поверхностью z = f (x; y) ³ 0 (рис. 10.2), то объем этого тела

вычисляется по формуле

36

V = ∫∫ f (x; y)dxdy .

(10.7)

D

3. Если V –

тело, ограниченное снизу поверхностью z = g(x; y) ,

сверху

– поверхностью z = f (x; y) ,

причем проекцией этих

поверхностей на

плоскость Oxy является область D , в которой

f (x; y) и g(x; y)

непрерывны ( f (x; y) ³ g(x; y) ), то объем этого тела

(рис. 10.14) вычисляется по формуле

V = ∫∫ ( f (x; y) − g(x; y))dxdy .

(10.8)

D

z = f (x; y)

z

z

z = g(x; y)

0

0

y

y

y = x2

x

x

D

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Пример 1А. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 - y , y = x 2 .

Решение. Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 10.15. Поверхность y = x 2 – цилиндрическая (см. справочный материал), z = 2 - y – плоскость, параллельная оси Ox (так как в

уравнении отсутствует переменная x ) и пересекающая ось Oz в точке (0; 0; 2) , ось Oy в точке (0; 2; 0) , z = 0 – уравнение плоскости Oxy .

Тело симметрично относительно плоскости zOy , следовательно, можно вычислить объем половины тела и результат

удвоить. Область D –

проекция тела на плоскость xOy . По формуле

(10.7) имеем

2

2

V = ∫∫ (2 − y)dxdy = 2∫∫ (2 − y)dxdy = 2 ∫ dx ∫ (2 − y)dy =

D

D

0

x2

1

y 2

2

4

2

2

2

1

32 2

.

= 2 ∫

2 y −

dx =

2 ∫

4 − 2 − 2x

− x

dx =

2

15

0

x2

0

2

37

z

y

y = x2

2

B

2

A

D1

0

D

y

2

x

y = x

2

0

2

x

A

Рис. 10.15

Рис. 10.16

.

Пример 2А. Найти площадь области D , ограниченной линиями x + y − 7 = 0 , xy = 6 .

Решение. Данная область,

ограниченная

прямой y = 7 − x и

гиперболой

y =

6

,

изображена

на

рис.

10.17. Решаем

систему

x

y = 7 − x,

6

уравнений

6

Отсюда

7 − x =

,

x 2 − 7x + 6 = 0 ,

x = 1,

=

1

y

x

x.

x2 = 6 , y1 = 6 ,

y2 = 1. Тогда

A(1; 6) ,

B(6;1) –

точки

пересечения

прямой и гиперболы.

y

A

D

B

0

1

6

x

Рис. 10.17

Применяя формулу (10.6), находим площадь области D .

6

7− x

6

7− x

6

6

35

S = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ y

dx = ∫

7 − x −

dx =

− 6 ln 6 .

D

1

6

1

6

1

x

2

x

x

38

Смотрите также файлы