ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1556
Скачиваний: 21
Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.
4. Ограниченность функции. Функция y = f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве A Df , если суще-
ствует такое число M, что для любых x из этого множества выполняется условие
f (x)≤ M ( f (x)≥ M ).
Функция y = f (x) считается ограниченной на множестве A Df , если существует такое положительное число M, что
f (x) ≤ M , x A.
Функция, не являющаяся ограниченной, называется неогра-
ниченной.
Примеры:
1)функция y = x2 , x R ограничена снизу на всей числовой оси;
2)y = x ограничена сверху на множестве (−∞; 0];
3)y =sin x ограничена на множестве R.
Элементарные функции |
||
Основные элементарные функции: |
||
1) |
y = xα , x Ef , α |
(степенная функция); |
2) |
y = ax , a > 0, x |
(показательная функция); |
3) |
y = loga x, a > 0, a ≠1, x + (логарифмическая функция); |
|
4) y = sinx, y = cosx, |
y = tgx, y = ctgx (тригонометрические |
|||
функции); |
||||
5) y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx, x E f |
(обрат- |
|||
ные тригонометрические функции). |
||||
Приведем графики некоторых элементарных функций: |
||||
– степенная функция (рис. 1.9); |
||||
– показательная функция: y = ax , |
a > 0, a ≠1 (рис. 1.10); |
|||
– логарифмическая функция: y = loga x, a > 0, |
a ≠1 (рис. 1.11); |
|||
– тригонометрические |
функции: |
y = sinx, |
y = cosx, |
y = tgx, |
y= ctgx (рис. 1.12);
–обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx (рис. 1.13).
19
y = xα, α = 2n, n y
y = xα, α = 2n + 1, n y
0 |
x |
0 |
x |
y = xα, α , 0 < α < 1 |
y = xα, α , α > 1 |
y |
y |
0 |
x |
0 |
x |
Рис. 1.9. Графики степенной функции
y = ax, 0 < a < 1 y
1 |
|
0 |
x |
Рис. 1.10. График показательной функции
20
y = loga x, a > 1
y
0 |
1 |
x |
Рис. 1.11. График логарифмической функции |
|||||
y = sinx |
y = cosx |
||||
y |
y |
||||
1 |
1 |
||||
–π |
0 |
π π |
x |
–π –π 0 |
π π |
2 |
2 |
2 |
|||
y = tgx |
y = ctgx |
||||
y |
y |
||||
1 |
1 |
|||||
–π |
0 |
π π |
x |
–π 0 |
π |
π |
2 |
2 |
2 |
2 |
Рис. 1.12. Графики тригонометрических функций
x
x
21
y = arcsinx |
y = arccosx |
|||
y |
y |
|||
π |
π |
|||
2 |
||||
π |
||||
2 |
||||
–1 |
0 |
x |
||
1 |
||||
–π |
–1 |
x |
||||
0 |
1 |
|||||
2 |
||||||
y = arctgx |
y = arcctgx |
|||||
y |
π y |
|||||
π
2
0
x |
0 |
x |
–π 2
Рис. 1.12. Графики обратных тригонометрических функций
Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) с применением действительных коэффициентов и образованием сложной функции.
Некоторые элементарные функции:
1)линейная функция y = ax + b;
2)квадратичная функция y = ax2 + bx + c;
3)многочлены с действительными коэффициентами (целые
рациональные функции) Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 +... + a1 x + a0 ;
4) дробно-рациональные функции (рациональные дроби) –
отношение многочленов:
22
R(x)= Pn ((x)); Qm x
5) иррациональные функции – функции, в которых используется операция извлечения корня.
Некоторые неэлементарные функции:
1, x > 0,
1.y = sign x = 0, x = 0,−1, x < 0.
2.Дробная часть y ={x}= x −[x], где[x] означает целую часть x.
3.Функция Дирихле
1, |
x − рациональное, |
D(x)= |
x −иррациональное. |
0, |
1.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1.2.1. Теоретический минимум
1. Окрестность конечной и бесконечно удаленной точек.
2. Понятие предела функции. Односторонние пределы.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
4. Основные теоремы о пределах.
5. Замечательные пределы.
6. Вычисление пределов.
7. Раскрытие некоторых видов неопределенностей.
Окрестность конечной и бесконечно удаленной точек
Окрестностью B(a) точки a (конечной точки) называется любой интервал, содержащий эту точку:
B(a)= (α; β) a.
ε-окрестностью |
Bε (a) |
точки а при ε > 0 называется интер- |
||||
вал вида (a −ε; |
a + ε) |
(рис. 1.13). |
||||
( |
a |
) |
x |
( |
a |
) |
α |
β |
α – ε |
α + ε x |
|||
Рис. 1.13. Окрестности точки a
23