ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1552
Скачиваний: 21
3) аналитический, который в свою очередь имеет три разновидности:
– явный (способ задания) – с помощью одного или нескольких аналитических выражений y = y (x), x X R, например
1) |
y = 1− x2 , x X =[0; 1]; |
2) y = |
x |
= x2 , x R; |
|||||||||||||
1, |
x > 0, |
2 |
, |
x |
≤1, |
||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
3) |
y = sign x = 0, x = 0, |
4) y = |
1 |
, |
x |
≥1; |
|||||||||||
x < 0; |
|||||||||||||||||
−1, |
x |
||||||||||||||||
– неявный, т. е. с помощью уравнения F (x; y)=0, x X , y Y, решая которое относительно y или x получим неявно заданную
функцию y = y(x) или x = x(y) |
соответственно, например |
||
1) |
x2 + y2 −1 = 0, x X =[0; 1], y Y =[0; 1] (задает y = y(x) |
как |
|
неявную функцию x и x = x(y) |
как неявную функцию y); |
||
2) |
x2 + y2 =1, x X =[−1; 1], |
y Y =[−1; 0] (задает y = y(x) |
как |
неявную функцию x); |
|||
3) |
x + y2 =1, x X =[0; 1], y Y =[0; 1] (задает y = y(x) как не- |
||
явную функцию x и x = x(y) как неявную функцию y); |
|||
– параметрический– спомощьюсистемы x = x(t), t T =[t0; t1], |
|||
y = y(t), |
|||
содержащей переменные x, y и параметр t, исключая который получаем y = y(x) какфункциюx или x = x(y) какфункциюy, например
x = t, |
t |
[ |
] |
( y = 1− x2 – функция x, x |
[ |
] |
||||||||||||||||||||
1) |
0; 1 |
0; 1 ); |
||||||||||||||||||||||||
y = 1 −t2 , |
||||||||||||||||||||||||||
2) x = cost, |
t |
[ |
π; 2π |
] |
( y = − 1− x2 – функция x, x |
−1; 1 ); |
||||||||||||||||||||
[ |
] |
|||||||||||||||||||||||||
y = sin t, |
||||||||||||||||||||||||||
3) x = t4 +1, |
t |
( x = y2 +1– функция y, y [0; +∞]). |
||||||||||||||||||||||||
y = t2 , |
y |
1 |
x |
[ |
] |
|||||||||||||||||||||
Замечание. Отметим, что выражение |
= |
− |
2 , x |
|||||||||||||||||||||||
0; 1 и |
||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 =1 для x |
[ |
0; 1 , |
y |
[ |
0; 1 , а также |
x = cost, |
π |
рав- |
||||||||||||||||||
] |
] |
= sin t, |
t 0; |
2 |
||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||
носильны и задают одну и ту же функцию, но в первом случае явно, во втором – неявно, в третьем – параметрически.
13
Рассмотрим далее выражение x2 + y2 =1, x |
[ |
] |
[ |
] |
−1; 1 , y |
−1; 1 . |
В этом (общем) случае оно не определяет ни y как неявную функ-
цию x, ни x как неявную функцию y. |
Существует бесконечное |
||||||||||||||||||||||||||
число функций вида |
y = y |
( |
x |
) |
таких, что |
x2 + |
( |
y |
( |
x |
)) |
2 = |
1, x |
[ |
] |
||||||||||||
−1; 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||
1− x |
2 |
, x [−1; 0], |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
[ |
] |
y = |
|||||||||||||||||||||||
вчастности y = 1 − x , y = − |
1 − x , x |
||||||||||||||||||||||||||
−1; 1 ; |
( |
] |
|||||||||||||||||||||||||
− 1− x2 , x |
0; 1 . |
||||||||||||||||||||||||||
Пусть функция |
y = ϕ(x) |
отображает |
числовое |
множество |
|||||||||||||||||||||||
X = Dϕ в множество Y = Rϕ , а функция z = f (y) |
отображает мно- |
||||||||||||||||||||||||||
жество Rϕ = Df в множество Rf |
. Тогда функция |
||||||||||||||||||||||||||
z = f (ϕ(x)),
называемая сложной функцией, или суперпозицией (композицией)
функций ϕ и f, определена на множестве X и отображает его в
множество Rf .
Функция y = ϕ(x) считается промежуточным аргументом (переменной) для функции z = f (ϕ(x)).
Например, функцию z = sin 2x можно рассматривать как сложную, образованную суперпозицией функций y = 2x и z =sin y.
Обратная функция
Пусть функция y = f (x) задает взаимно однозначное соответствие между множествомопределения Df имножествомзначений Rf , т. е. каждому числу x Df соответствует единственное число y Rf и наоборот. Так как при этом каждому числу y Rf ставится
в соответствие единственное число x Df , то можно говорить, что |
|
на множестве Rf определена функция x = f −1 (y), обратная по от- |
|
ношению к данной функции y = f (x), x Df . |
|
Поскольку графики функций |
y = f (x) и x = f −1 (y) совпада- |
ют, то графики функций y = f (x) |
и y = f −1 (x) симметричны от- |
носительно прямой y = x, т. к. при переходе от прямой функции к обратной оси абсцисс и ординат меняются местами.
Например, функция y = x2, |
Df =[−2; 0], Rf |
=[ |
0; 4] |
на от- |
резке [−2; 0] имеет обратную |
функцию y = − |
x , |
Df |
=[0; 4], |
Rf =[−2; 0] (риc. 1.2). |
14
y |
|||||||
y = x |
|||||||
2 |
|||||||
y = x2 |
|||||||
y = x |
|||||||
4 |
|||||||
–2 |
0 |
x |
y =−−x x
Рис. 1.2. Взаимное расположение графиков прямой и обратной функций
Отметим, что функция y = x2 на промежутке [−2; 2] не имеет обратной, т. к., например, значению y =1,8 соответствуют два значения x = ± 1,8 , что нарушает однозначность соответствия между множествами Df и Rf .
Свойства функций одной переменной
1. Четность и нечетность функции. Пусть область опреде-
ления Df функции f симметрична относительно начала отсчета. Если при этом
f (−x) = f (x), x Df ,
то функция называется четной, если же
f (−x)= − f (x), x Df ,
то функция называется нечетной.
Из определения четности функции следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – относительно начала координат.
Например, функция y = x2 , x [−1; 1] является четной (см. ее график на рис. 1.3).
15
y
–1 |
0 |
1 |
x |
|||||
Рис. 1.3. График функции y = x2 , x [−1; 1] |
||||||||
Функция y = x3 , x |
является |
нечетной |
(см. ее график |
|||||
на рис. 1.4).
y
–1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 1.4. График функции y = x3 , x
Функция y = x2 + 2x +1, x [−1; 1] не является ни четной, ни нечетной.
2. Периодичность функции. Функция y = f (x) называется периодической, если для нее существует такое число T > 0, называемое периодом функции, что при любых x из области определения функции числа x +T и x −T также принадлежат этой области и выполняется равенство
f (x −T )= f (x)= f (x +T ).
16
Примерами периодических функций являются тригонометрические функции y =sin x, y = tg x с наименьшими периодами 2π и π соответственно (см. рис. 1.5, 1.6).
y y
1
–π |
0 |
π |
π |
x |
2
Рис. 1.5. График функции y = sin x
y
1
–π |
0 |
π |
π |
2 |
2 |
Рис. 1.6. График функции y = tg x
3. Монотонность функции. Функция y = f (x) является воз-
растающей (убывающей) на некотором множествеA Df , если большему значению аргумента из множества A соответствует большее (меньшее) значение функции f (x), т. е.
17
f (x) возрастает на A Df ( x1 , x2 A Df ) (x1 > x2 )
f (x1 ) > f (x2 ).
f (x) убывает на A Df ( x1 , x2 A Df ) (x1 > x2 )
f (x1 )< f (x2 ).
Аналогично вводятся понятия неубывающей и невозрастающей функций (см. рис. 1.7, 1.8):
f (x) не убывает на A Df |
( x1, x2 A Df ) (x1 > x2 ) |
||||||
f (x1 )≥ f (x2 ). |
|||||||
f (x) не возрастает на A Df |
( x1, x2 A Df ) |
(x1 > x2 ) |
|||||
f (x1 )≤ f (x2 ). |
|||||||
y |
y |
||||||
x2 x1 |
x |
x2 x1 |
x |
||||
0 |
0 |
||||||
f (x1 ) |
f (x2 ) |
||||||
f (x2 ) |
f (x1 ) |
||||||
а |
б |
||||||
Рис. 1.7. Возрастающая (а) и убывающая (б) функции |
|||||||
y |
y |
||||||
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
||||
0 |
x |
0 |
x |
||||
f (x1 ) = f (x2 ) |
f (x1 ) = f (x2 ) |
||||||
а |
б |
||||||
Рис. 1.8. Неубывающая (а) и невозрастающая (б) функции
18