Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (4,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1562

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

a +b ={xa + xb ; ya + yb ; za + zb}.

a −b ={xa − xb ; ya − yb ; za − zb}.

λa ={λxa ; λya ; λza}.

a || b

a = b xa = xb , ya = yb , za = zb.

Так как AB = OB −OA, то для каждого вектора d = AB с нача-

лом в точке

A(xA; yA; zA )

и концом в точке B(xB ; yB ; zB ) его коор-

динаты равны xd = xB − xA ;

yd = yB − yA ;

zd = zB − zA .

Пример 1. Даны точки A(1; 4; 6)

и B(2; 6; 4). Найти координа-

ты вектора AB , его длину, направляющие косинусы вектора AB .

Решение.

Находим

координаты:

AB ={2 −1; 6 − 4; 4 − 6}=

={1; 2; − 2}.

12 +22 +(−2)2 =3. Направ-

Модуль (длина) вектора AB:

ляющие косинусы вектора AB :

cos α =

1 ,

cosβ =

= 2 , cos γ =

= −

2 .

Пример 2. Даны векторы a ={2; 1; 3} и b ={−1; 0; 2}. Найдите

координаты и длину вектора c = 2a −b .

Решение.

2a ={4; 2; 6},

c =2a −b ={4 −(−1); 2 −0; 6 −2}={5; 2; 4}.

Находим длину вектора c :

52 + 22 + 42

= 45 = 3

5 .

Пример 3. При каких α и β вектор

a ={3; α; β} коллинеарен

вектору AB , если A(4; 0; 3) , B(−2; 4; 5) ?

Решение.

Находим

координаты

вектора

AB :

AB ={−2 − 4; 4 − 0; 5 − 3}={−6; 4; 2}.

Условие коллинеарности векторов a и AB имеет вид

= α

= β

, следовательно,

−6α =12 , −6β = 6 и α = −2 , β = −1.

−6

170

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением a b векто-

ров	a и b	называется число (скаляр), рав-	b
ное	произведению модулей этих векторов

на косинус угла a b = ϕ между ними:

a b = a b cos a b.

Если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат координатами a ={xa ; ya ; za}, b ={xb ; yb ; zb}, то

a b = xa xb + ya yb + za zb .

Свойства скалярного произведения

1.a b = b a .

2.a (b + c) = a b + a c .

3.a a = a 2 .

4.a b = a npab = b npb a.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) условие ортогональности (перпендикулярности) ненулевых векторов:

ab a b = 0 xa xb + ya yb + za zb = 0 ;

2)косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен:

cos a b=	a b		xa xb + ya yb + za zb					;
	a b =
		x2	+ y2 + z2		x2	+ y2 + z2
		a	a	a	b	b	b
3) работа A постоянной по величине и направлению силы F
по перемещению материальной точки на вектор s							равна A = F s
(физический смысл скалярного произведения).
Пример 1. Две силы F1 ={4; 1; 3}				и F2 ={3; −1; 2}				приложены

в точке M (1; 4; 7) . Вычислить работу их равнодействующей R по перемещению материальной точки из M в N (3; 8; 5) .

Решение. Найдем координаты равнодействующей сил R и вектора перемещения s = MN :

171

R = F1 + F2 ={4 +3; 1−1; 3 + 2} ={7; 0; 5},

s = MN ={3 −1; 8 − 4; 5 − 7} ={2; 4; − 2}.

Тогда работа равна

A = R s = 7 2 + 0 4 + 5 (−2) =14 −10 = 4 .

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника ABC :

A(1; − 2; −1), B(5; 2; −3), C(4; − 2; 3) .

Найти: а) длину стороны AB ; б) проекцию

стороны AB на

AC , т. е. AD ; в) внутрен-

ний угол при вершине A ; г) внешний угол

при вершине B .

Решение. Найдем координаты векторов AB ={4;4;−2},

AC ={3;0; 4}, BC ={−1;−4;6} :

а) длина стороны AB равна

= 42 + 42 + (−2)2 = 6 ;

б) находя длину вектора AC :

32 + 02 + 42 = 5, получаем:

= AB AC = 4 3 + 4 0 − 2 4 = 12 −8 = 0,8;

в) для угла α = AB AC имеем:

cos α =

AB AC

, α = arccos

;

6 5

г) для угла β = AB BC имеем:

AB BC

4 (−1) +4 (−4) −2 6

−32

cosβ=

, β=π−arccos

6 (−1)2 +(−4)2 +62

3 53

Пример 3. Найти проекцию вектора

a ={4; 2; −6}

на ось

l ,

образующую с осью Ox угол α =120°, с осью Oy – угол β =45° и тупой угол с осью Oz .

Решение. Введем вектор el ={cos α; cosβ; cos γ} – единичный вектор направления l .

Из условия cos2 α + cos2 β+ cos2 γ =1 находим cos γ:

172

cos	2	γ =1 − cos	2	α − cos	2	β =1						1 2				2	2		1	, т. е. cos γ = ±	1	.
										−	−			−				=			2
										−	−			−		2		=	4
												2				2			4	1
		Так как γ																		1
		Так как γ		– тупой угол, нужно взять cos γ = −2 .
							1			2
							1			2		1
Следовательно, el = −								;			; −	.
Следовательно, el = −							2	;	2		; −	.
							2		2			2

		Находим проекцию:
np a = np a = a			el = a e = 4							−	1	+2	2		−6			−1		= −2 + 2 +3 =1+ 2.
np a = np a = a			el = a e = 4							−		+2			−6			−1		= −2 + 2 +3 =1+ 2.
l		el	el		l									2				2
			el								2			2				2
		Векторное произведение двух векторов
		Три некомпланарных,								упорядоченных вектора a, b, c , приве-