Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1574

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.a ×b = −b ×a .

3.a ×(b + c) = a ×b + a ×c .

4. a ×b = 0 a || b при a ≠ 0, b ≠ 0 .

5. Площади параллелограмма и треугольника

b

1

S =

a ×b

S =

a ×b

.

2

a

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1; –1; 2), B(5; –6; 2), С(1; 3; –1). Найти его площадь и высоту BK.

Решение.

BПлощадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на век-

C

торах AB и AC , т. е. S =

1 S

= 1

AB × AC

.

A

K

2

2

Найдем координаты векторов AB и AC и их векторное про-

изведение:

AC ={0; 4; −3},

AB ={4; − 5; 0},

AB × AC =

i

j

k

=i

−5 0

− j

4 0

+ k

4

−5

=15i +12 j +16k.

4

−5 0

0

4

−3

4

−3

0

−3

0

4

1

1

Следовательно, S

1

25 =12,5 (ед2.).

= 2

225 +144 + 256 = 2

625

= 2

С другой стороны, S =

1 AC BK

, отсюда

2 S

12,5 2

2

BK =

=

= 25 = 5 (лин. ед.).

AC

0 +16 +

9

5

Пример 2. Найти

единичный

вектор

x ,

перпендикулярный

векторам a ={4; 1; 3} и b ={4; 0; 2}.

Решение. Вектор c = a ×b будет перпендикулярен векторам a

и b. Найдем его:

c =

i

j

k

= i

1

3

− j

4

3

+ k

4

1

={2; 4; − 4}.

4 1 3

0 2

4 2

4 0

174

4

0

2

Модуль вектора c равен c = 22 + 42 + (−4)2 = 6.

Следовательно, единичные векторы, перпендикулярные a и b, будут иметь вид

e1

=

1

1

;

2

; −

2

,

e2 = −

1

1

; −

2

;

2

6

c =

3

3

6

c = −

3

3

.

3

3

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением abc трех векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора a ×b и вектора c .

По определению abc = (a ×b) c .

Свойства смешанного произведения

1.abc = (a ×b) c = a (b ×c) = bca = cab = −acb = −cba .

2.Если a ={xa ; ya ; za}, b ={xb ; yb ; zb}, c ={xc ; yc ; zc}, то

xa

ya

za

yb

zb

xb

zb

xb

yb

abc =

x

y

z

= x

− y

+ z

.

b

b

b

a

y

c

z

c

a

x

z

c

a

x

y

c

xc

yc

zc

c

c

3. Объем параллелепипеда, тре- 4. Объем пирамиды угольной призмы

c

c

b

b

a

Vпир = 1

a

V

,

Vпризмы = 1

abc

abc

.

=

abc

.

пap

2

6

5. abc = 0 a , b , c – компланарны.

Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={−5; 3; 2}, b ={−6; 3; 4}, c ={−8; 6; −5}.

Решение. Объем параллелепипеда равен V = abc . Найдем смешанное произведение векторов a, b, c :

175

n×1 .

abc =

−5

3

2

−6

3

4

= −5 (−15 − 24) −3 (30 + 32) + 2 (−36 + 24) = −15.

−8

6

−5

Следовательно, V = −15 =15 (куб. ед.).

Пример 2. Доказать, что точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),

D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Решение. Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, если векторы AB , AC , AD компланарны, т. е. если смешанное произведе-

ние AB AC AD = 0. Найдем координаты этих векторов и их смешанное произведение:

AB ={−1; −1; 6}, AC ={−2; 0; 2}, AD ={1; −1; 4},

−1 −1

6

AB AC AD =

−2 0

2

= −1 (0 + 2) +1 (−8 − 2) + 6 (2 −0) = 0 .

1 −1

4

Следовательно, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Пространство

n

Множество векторов на плоскости и в пространстве, заданных своими координатами, с линейными операциями покоординатного сложения и умножения на числа допускает естественное обобщение на случай n координат, когда векторы рассматриваются как

элементы n-мерного (числового) пространства

n . Обычно про-

странство n отождествляется с множеством

матриц-столбцов

размера n×1 со стандартными операциями сложения матриц и умножения их на числа: n =

4.2.2.Вопросы для самоконтроля

1.Дан ABC . Чему равна сумма AB + BC + CA ?

2.

Какие

из векторов a , 2 a ,

( −3a )

имеют а) одинаковое;

б) противоположное направление?

3.

Дано b = 4a . Как выразится

b

через

a

?

4.

Дано

a

= 3. Как выразится

через

a единичный вектор

а) имеющий

то

же направление, что и a ;

б) имеющий направле-

ние, противоположное a ?

176

5.Какому условию удовлетворяют координаты коллинеарных векторов?

6.Когда проекция ненулевого вектора на ось равна нулю?

7.Когдаскалярноепроизведениененулевыхвекторовравнонулю?

8.Какие углы (острые или тупые) образует вектор a ={−4; 3; 2}

скоординатными осями? Чему равна npOxa ?

9.Как найти площадь треугольника, построенного на задан-

ных векторах a и b ?

10. Как найти объем параллелепипеда, построенного на трех

заданных векторах a, b, c ?

11. Будет

ли справедливым равенство

AB = CD ,

если

A(2; −1; 4), B(0; 5; 9), C(−1; 0; − 2), D(−3; 6; 3) ?

12. Как определяется пространство

n ?

4.2.3. Практический минимум

1. Даны векторы с координатами a ={1; −3; 5},

b ={2; 0; −1},

c ={−4; 6; − 2}. Найти координаты векторов 2a ,

−3b , 2a −3b + c

и проекции npOya, npOxb .

2. Найти

координаты и модуль

вектора

AB ,

если

A(2; 4; −3), B(5; 0; 9) .

3. Даны координаты вектора AB ={4; −5; 7} и координаты точки

A(2; 1; −8). Найти координаты точки B и проекцию AB на ось Oz. 4. Найти значения α и β, при которых векторы a и c колли-

неарны, если a ={−3; α; 2}, c ={β; 12; −6}. Установить, будут ли

эти векторы иметь одинаковое направление.

если a ={3; − 4; 5},

5.

Найти значение λ, при котором a b ,

b ={λ; 1; − 4}.

6.

Дано

a

= 3,

b

=5 . Найти значение

λ, при котором

(a + λb) (a −λb) .

7.

Найти единичные векторы e1 и e2 , если e1 имеет то же на-

правление, что AB ,

e2 имеет направление, противоположное на-

правлению AB и A(5; −3; 4) , B(−7; 1; 1) .

177

8. Даны векторы a ={−4; 2; 4} и b ={0; −3; 4}. Найти a b и косинус угла a b между ними.

9. Даны

вершины четырехугольника A(1; 4; 0), B(−4; 1; 1),

C(−5; −5; 3),

D(1; − 2; 2) . Доказать, что его диагонали AC и BD

перпендикулярны.

10. Даны координаты вершин треугольника A(1; 2; 4), B(−3; 2; 1), C(4; 2; 0) . Найти внутренний угол α при вершине A и внешний угол γ при вершине C.

11.Найти проекцию вектора a ={2; − 4; 4} на ось l, составляющую с a угол ϕ = 56π .

12.Даны векторы a ={1; 2; − 2}, b ={−5; 0; 1}, c = 3i + 4 j . Найти npc (2a −b) , направляющие косинусы вектора a .

13.

Даны векторы a ={4; −5; 3}

и b ={−4; 0; 2}.

Проверить,

что a ×b = −b × a и найти площадь параллелограмма,

построенно-

го на этих векторах.

ABC A(−1; 3; 1),

B(2; −1; 1),

14.

Даны вершины треугольника

C(2; −6; 5). Найти его площадь и высоту, опущенную на сторону AB. 15. Даны векторы a ={2; − 4; −5}, b ={−4; 1; 6}, c ={5; −5; −1}.

Найти смешанные произведения abc , acb , cab .

16. Проверить компланарность векторов a ={3; − 4; 7}, b ={1; 2; −3}, c ={2; −1; 2}.

17. Доказать,

что точки A(1; 2; 0), B(4; 3; 4), C(2; −3; − 2) ,

D(3; 0; 1) лежат в

одной плоскости.

18.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах m ={5; 2; −6}, n ={0; 6; −8}, p ={−2; 4; −6}.

19.Найти объем тетраэдра, вершины которого находятся в

точках A1 (1; 6; 2), A2 (5; 0;6), A3 (5; 5; 4), S(4; 8; 9) .

20. Найти высоту треугольной призмы, вершины которой на-

ходятся в точках A1 (1; 1; 1), A2 (2; 0; 2), A3 (2; 2; 2), B1(3; 4; −3) .

Минимум для аудиторной работы

1; 2; 4; 5; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 16; 19; 20.

178

Смотрите также файлы