Файл: Бобровский_Инженерная и машинная графика.pdf

Лекция 7 (окончание) ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

7.1. Пересечение поверхностей вращения

Пусть необходимо построить проекции линии пересечения двух цилиндров, боковые поверхности которых проецирующие (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Как видно из чертежа, заданы цилиндры разных диаметров. Линии их взаимного пересечения, состоящие из 2-х ветвей на горизонтальной и профильной проекции совпадают с проекциями поверхностей заданных цилиндров. Поэтому горизонтальная и профильная проекции линий пересечения на чертеже известны. Необходимо построить лишь фронтальную проекцию одной и другой ветвей линии. Следует отметить, что характерные точки 1'', 2'', 3'', принадлежащие

43

фронтальной проекции линии пересечения цилиндров, могут быть определены на чертеже без дополнительных построений. Например, точки 1'', 2'' найдем как точки пересечения очерковых образующих на фронтальной проекции. С помощью линий связи находим их горизонтальные и профильные проекции.

Фронтальные проекции точки 3'' и симметричной точки найдены по профильным проекциям точки 3'''.

Для нахождения промежуточных точек А линии пересечения цилиндров воспользуемся вспомогательной плоскостью уровня α. Плоскость пересекает цилиндр с горизонтальной осью по двум прямым линиям – образующим, а цилиндр с вертикальной осью – по окружности. Прямые, пересекающие боковую поверхность цилиндра, ось которого расположена горизонтально с плоскостью α, найдены сначала на профильной проекции, а затем с помощью линии связи – на горизонтальной проекции. Там, где они пересекаются с горизонтальной проекцией цилиндра с вертикальной осью, находим искомые точки. С помощью линии связи они построены на фронтальной проекции α'' следа плоскости α.

7.2. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Пусть в пересечении участвуют две соосные поверхности. Соосными называются поверхности, имеющие общую ось враще-

ния (рис. 7.2).

Рис. 7.2

44

Линией пересечения соосных поверхностей в пространстве является окружность.

Как видно из чертежа, каждая точка, принадлежащая линии пересечения, лежит на параллели, которая принадлежит двум поверхностям. Следовательно, линией пересечения таких поверхностей является общая параллель – для поверхностей это окружность.

Сфера, центр которой находится на оси поверхности вращения, всегда пересекается с этой поверхностью по окружности. 1'', 2'' – это фронтальная проекция линии пересечения сферы и цилиндра. 3'', 4'' – это фронтальная проекция линии пересечения сферы и конуса.

Вотдельных случаях при пересечении поверхностей второго порядка кривая линия пересечения, которая является в общем случае пространственной кривой, может распадаться на пару плоских кривых. При каких условиях это происходит?

Доказывается, что таким условием у пересекающихся поверхностей второго порядка является наличие двойного соприкосновения.

Так, если две поверхности второго порядка имеют в какой-либо общей точке общую касательную плоскость, то они касаются между собой в ней. Если таких точек две, то поверхности имеют двойное соприкосновение.

Ваналитической геометрии доказывается, что поверхности второго порядка, имеющие двойное соприкосновение, пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, причем плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки соприкоснове-

ния (рис. 7.3).

Рис. 7.3

45

Однако не всегда удается обнаружить двойные соприкосновения у пересекающихся поверхностей. Для того чтобы выяснить, распадается ли линия пересечения поверхностей на пару плоских кривых, пользуются следующими положениями, известными под названием теоремы Монжа.

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности того же порядка (или вписаны в нее), то они пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, т. е. линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Пусть необходимо построить проекции линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей, описанных около одной и той же сферы (рис. 7.4).

Рис. 7.4

На основании теоремы Монжа можно установить, что эти поверхности пересекаются по плоским кривым, фронтальные проекции которых – прямые линии. 1'', 2'' – фронтальная проекция линии пересечения вспомогательной сферы и вертикального конуса. 3'', 4'' – фронтальная проекция линии пересечения вспомогательной сферы и наклонного цилиндра. А'', В'' и C'', D'' – фронтальные проекции линий пересечения вертикального конуса и наклонного цилиндра.

46

7.3. Способы вспомогательных сфер

Для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей вращения, в ряде случаев можно использовать не секущие плоскости, а вспомогательные сферы. Это возможно в тех случаях, когда оси поверхностей вращения пересекаются и расположены параллельно какой-либо плоскости проекции (имеют плоскость симметрии).

Выше мы видели, что две соосные поверхности пересекаются между собой по окружности. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-либо плоскости проекции, то окружность проецируется на эту плоскость в отрезки прямых. Это положение остается в силе и в том случае, когда одной из соосных поверхностей вращения является сфера, центр которой находится на оси другой поверхности.

Пусть требуется построить линию пересечения двух цилиндров

(рис. 7.5).

О''

Рис. 7.5

Точки 1'' и 2'' определяем без дополнительных построений, как точки пересечения очерковых образующих цилиндра.

Для нахождения промежуточных точек начертим вспомогательную сферу, центр которой совпадает с точкой О''. Проведем из точки О'' окружность радиусом R, которая будет проекцией сферы. Сфера и цилиндр – поверхности соосные, поэтому они пересекаются по ок-

47

ружности, которая спроецировалась в прямую линию А''В'' (сфера пересекается с вертикальным цилиндром), а по линиям С''С1'' и D''D1'' сфера пересекается с горизонтальным цилиндром. Найденные линии пересекаются в точках 3'' и 4''. Эти точки принадлежат линии пересечения цилиндров, т. к. относятся к двум поверхностям.

При этом Rmax = O''1'', т. е. расстояние от точки пересечения осей до самой удаленной точки, принадлежащей линии пересечения. Из центра O'' проводят перпендикуляр к образующим каждой из пересекающихся поверхностей, наибольший из этих перпендикуляров будет искомым радиусом. В нашем случае Rmin = O''K''. Описываем сферу радиусом O''K'' и находим проекции окружностей, по которым она пересекает оба цилиндра. В точке пересечения проекций находим точку 5''.

48

Лекция 8 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ.

СТАНДАРТНЫЕ ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ И ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА

В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ

8.1. Аксонометрические проекции

При построении технического чертежа (эпюра) предмета последний обычно располагают так, чтобы направления его трех главных измерений (длина, ширина и высота) были параллельны плоскостям проекций. Такой чертеж нетрудно строить (рис. 8.1), на нем легко производить измерения, однако он не обладает наглядностью. На каждой из проекций отсутствует одно из трех измерений. Чтобы воспроизвести форму предмета, нужна работа мысленного аппарата.

Рис. 8.1

Более наглядный чертеж можно построить, проецируя предмет на одну плоскость проекций и располагая его так, чтобы не одно из направлений главных измерений не проецировалось точкой. Тогда длина, ширина и высота предмета будут восприниматься по одной проекции, т. к. взгляд охватывает три стороны предмета. По данному чертежу легко представить себе форму предмета. Построенный таким образом чертеж называется аксонометрическим (рис. 8.2).

49