Файл: лекция № 10.doc

Мал. 2

Механічний зміст задачі Коші

, , (19)

полягає в тому, щоб знайти ту траєкторію механічної системи, яка є розв'язком диференціального рівняння (19) і має в t₀ фіксовані положення x₀ і швидкість V₀.

Розглянемо питання єдиності та існування розв'язку задачі Коші (2), (16). Єдиність для диференціального рівняння (2) не означає, що через точку М(x₀,y₀) проходить тільки одна інтегральна крива. Наприклад, для диференціального рівняння (17) єдиність розуміється в тому сенсі, що через точку М(x₀,y₀) проходить єдина інтегральна крива (мал. 2) з заданим нахилом дотичної, а через точку М(x₀,y₀) можуть проходити і інші інтегральні криві, які мають інші нахили дотичних.

Необхідні умови існування розвязку задачі Коші (2), (16) – права частина (2) неперервна в околі початкових даних.

Сформулюємо без доведення теорему про достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші.

Теорема 1 (теорема Пікара). Розглянемо задачу Коші (2), (16) Припустимо, що функція визначена в деякій замкненій обмеженій області

R: , , , ,…, (20)

(a,b – дійсні додатні числа) і задовольняє в цій області умовам:

1. Функція є неперервною за своїми аргументами і, отже, обмеженою

(21)

(тут M>0 – константа );

2. Функція має обмежені частинні похідні за змінними , тобто

---

, l=0,1,2,…,(n-1); () , (22)

де K – константа.

При цих припущеннях диференціальне рівняння (2) має єдиний розв'язок, який задовольняє умовам (16) і є неперервним разом з своїми похідними до n-го порядку включно на інтервалі

. (23)

З теореми випливає, що для поліноміальної правої частини диференціального рівняння (2) розв'язок задачі Коші з довільними початковими умовами існує і є єдиним.

Загальний розв'язок та загальний інтеграл, частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли

Загальним розв'язком диференціального рівняння (2) називається сімейство розв'язків, яке залежить від n довільних констант c₁,…,c_n

. (24)

Геометрично воно представляє сімейство інтегральних кривих на площині (x,y), залежне від n параметрів c₁,…,c_n , причому рівняння цього сімейства розв'язано відносно y.

Розглянемо область D в просторі , в кожній точці якої виконуються умови теореми про існування і єдиність розвязку задачі Коші.

Означення 2. Функцію (24), визначену в деякій області змінних x, c₁,…,c_n і яка має частинні похідні по x до n-го порядку включно, будемо називати загальним розв'язком диференціального рівняння (2) в області D, якщо система рівнянь

(25)

розв'язується відносно с₁,с₂,…,с_n в області D

(26)

і якщо функція (24) є розв'язком диференціального рівняння (2) при всіх значеннях c₁,…,c_n, які визначаються формулами (26), коли точка .

---

Для розв'язування задачі Коші необхідно (16) підставити в (26) і визначити

.

Розв'язок задачі Коші запишеться у вигляді . Якщо розв'язок можна представити у вигляді , то така форма запису називається формою Коші.

В більшості випадків розв'язок диференціального рівняння (2) отримуємо у вигляді

Ф(x,y,c₁,…,c_n )=0, (27)

який називається загальним інтегралом.

Означення 3. Будемо називати (27) загальним інтегралом диференціального рівняння (2) в області D, якщо це співвідношення визначає загальний розв'язок диференціального рівняння (2) в області D.

Означення  Розв'язок, що визначається співвідношеннями

, (28)

називають загальним розв'язком в параметричній формі.

Означення 5. Якщо розвязок диференціального рівняння (2) складається тільки з точок єдиності розвязку задачі Коші, то такий розвязок будемо називати частинним.

Наприклад, при конкретних розвязок буде частинним.

Означення 6. Розвязок, в кожній точці якого порушується єдиність розвязку задачі Коші, будемо називати особливим розвязком.

Рівняння n – го порядку може мати сімейство особливих розвязків, залежних від довільних констант, кількість яких може досягати (n-1).

Приклад 1. Знайти особливі розвязки рівняння

.

Розв'язання. Вводимо заміну , – нова змінна. Маємо

. (29)

Звідки

,

.

---

Рівняння (29) має особливий розвязок , тобто . Тому – сімейство особливих розвязків.

Інтегруючи диференціальне рівняння (2) ми приходимо до рівнянь, які не містять вищих похідних, але містять відповідну кількість констант

. (30)

Співвідношення (30) називається проміжним інтегралом диференціального рівняння (2) k – го порядку і представляє собою диференціальне рівняння (n-k) порядку, яке містить k довільних сталих.

При k=1 співвідношення

(31)

називається першим інтегралом.

Якщо існує один перший інтеграл, то диференціальне рівняння (2) зводиться до інтегрування диференціального рівняння (n-1) – го порядку.

Якщо відомо два перших інтеграли

, (32)

то виключаючи з них , приходимо до проміжного інтегралу другого порядку

. (33)

Знання k незалежних перших інтегралів дозволяє понизити порядок диференціального рівняння на k одиниць.

Якщо ми маємо n перших інтегралів, то виключаючи з них ми знайдемо загальний інтеграл

. (34)

---

Крайова задача

Крім задачі Коші існують такі, в яких умови задаються в різних точках. Такі умови називають крайовими або граничними. А відповідна задача – крайовою.

Для рівняння другого порядку

(35)

самі простіші граничні умови мають вигляд

. (36)

Знаходиться розвязок на [a, b], який задовольняє умовам (36). Геометрично – на площині (x, y) розв'язати задачу Коші означає знайти інтегральні криві диференціального рівняння (35), які проходять через точки (a, A), (b, B).

В більш загальній постановці для диференціального рівняння другого порядку крайові умови можуть мати вигляд

, (37)

де числа, .

Приклад 2. Розвязати крайову задачу

Розв'язання. Маємо загальний розвязок нашого рівняння . Згідно крайовим умовам

Оскільки система не сумісна, то крайова задача не має розвязку, тобто поставлена не коректно.

Якщо , то , – будь-яка стала. Тобто крайова задача має безліч розвязків .

Тобто крайова задача може не мати розвязку, мати безліч розвязків, мати єдиний розвязок.

Приклад 3. Розвязати крайову задачу

.

Розв'язання. Маємо , . Звідки . – єдиний розвязок.

---