ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.05.2025
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
, (12)
де
.
Умову (12) можна записати і так
, (13)
де
.
Розглянемо функцію
, (14)
де
і покажемо, що ця функція є частинним
розвязком
диференціального рівняння (*)
з початковими умовами
.
Для цього використаємо формулу
.
Знаходимо похідні
,
,
………………………… (15)
,
.
Підставимо (15) в диференціальне рівняння (5.49), отримаємо
.
Тобто
,
а це означає, що функція (15)
є частинним розвязком
диференціального рівняння (*).
Формула (15)
називається формулою Коші.
Лінійні диференціальні рівняння n –го порядку зі змінними коефіцієнтами, які зводяться до рівнянь з постійними коефіцієнтами
Рівняння Ейлера - це рівняння вигляду
. (16)
Це рівняння приводиться до рівняння з постійними коефіцієнтами заміною
. (17)
Дійсно
,
, (18)
……………………
.
Підставляючи (17) і (18) в диференціальне рівняння (16) ми отримаємо диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
. (19)
Частинні
розвязки
диференціального рівняння (19)
знаходять у вигляді
.
Враховуючи (17),
частинні розвязки
диференціального рівняння (16)
можна зразу шукати у вигляді (17)
. (20)
Рівняння Лагранжа має вигляд
. (21)
Це
рівняння заміною
також приводиться до диференціального
рівняння з постійними коефіцієнтами.
Рівняння
(22)
називається
рівнянням
Чебишева і
після заміни
при
воно набирає вигляду
. (23)
Дійсно
,
.
Отже
,
.
Тобто отримали (24).
Приклад 5.17. Розвязати диференціальне рівняння
.
Розв'язання. Випишемо і розвяжемо характеристичне рівняння
,
.
Тому фундаментальна система розвязків буде наступною
.
Отже
– загальний
розвязок.
Приклад:
Розв’язати
задачу Коші:
методом
Лагранжа (варіації сталих) у вишляді:
Для
знахождення
складаємо
систему:
.
Шукаємо розв’язок, що задовольняє початковим умовам.
Отже,
-
розв’язок задачі Коші.
Домашнє завдання: [3], стор. 113-124, 124-137; [2], стор. 57, №№575-581.