МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 4

з теми: «Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Мета:

• Дидактична: ознайомитися з основними типами звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, вивчити методи знаходження розв'язків інтегральних типів диференціальних рівнянь 1-го порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція – діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 4

Тема: «Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.»

---

План лекції № 4

1. Загальний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку – метод варіації сталих.

2. Рівняння Бернуллі. Метод Бернуллі розв’язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

3. Приклади.

1. Диференціальне рівняння виду (1) , де та називається лінійним рівнянням першого порядку.

Лінійність рівняння визначається відносно й :

Якщо на, то рівняння є лінійним однорідним (ЛОР)

Якщо на, то рівняння є лінійним неоднорідним (ЛНР).

Загальні властивості розв'язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь:

1. Якщо та неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для диференціального рівняння (1) існує і є єдиним;

2. Лінійне диференціальне рівняння (1) не має особливих розвязків;

3. Інтегральні криві однорідного диференціальне рівняння (1) не можуть перетинати вісь , так як в противному випадку порушувалися б умови єдиності розвязку задачі Коші;

4. Диференціальне рівняння (1) є інваріантно відносним перетворення ;

Дійсно, скориставшись формулою

отримаємо лінійне рівняння в змінних

.

---

– Диференціальне рівняння (1) є інваріантним відносно заміни

(2)

де – нова змінна, та – неперервні функції, на . Тоді нове рівняння в змінних є лінійним

.

Якщо – частинний розвязок диференціального рівняння (1), то

, (3)

де - константа, є загальним його розвязком.

Справедлива теорема.

Теорема 2.3. (про структуру загального розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівняння) Якщо – частинний розвязок неоднорідного диференціального рівняння (1), а (3) – загальний розвязок лінійного однорідного диференціального рівняння (1), то сума

(4)

є загальним розвязком лінійного неоднорідного диференціального рівняння (1).

Теорема доводиться безпосередньою підстановкою (4) в рівняння (1).

Якщо відомо два частинних розвязки диференціального рівняння (1), то загальний його розвязок записується без квадратур

. (5)

Метод Лагранжа (варіації сталих).

Розглянемо спочатку лінійне однорідне рівняння. Знаходимо розв’язок лінійного однорідного рівняння як рівняння з відокремлюваними змінними.

---

Далі знаходимо частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді , де С(х) – шукана функція

Заданий вигляд у(х) підставимо в вихідне ЛНР.

Якщо дана початкова умова , то сталу знаходимо із загального інтегралу та формуємо частинний розв’язок рівняння.

Рівняння Бернуллі. Метод Бернуллі.

.

Якщо – Розв’язок рівняння Бернуллі.

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді , де – невідомі, відмінні від 0, функції, одну з яких шукаємо за визначеними нами умовами.

Отриману заміну підставимо в рівняння.

Функцію оберемо так, щоб , тогда . Маємо

Окремо розв’язуємо кожне рівняння системи, починаючи з першого.

– обираємо самостійно, так як потрібно знайти лише одну функцію. Наприклад, .

Далі маємо:

---

Смотрите также файлы

• лекция № 3.doc

• лекция № 2.doc

• лекция № 1.doc

• лекция № 17.doc

• лекция № 16.doc