МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 5

з теми: «Рівняння в повних диференціалах.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Рівняння в повних диференціалах.

Мета:

• Дидактична: вивчити методи розв’язання рівнянь в повних диференціалах, знаходити розв'язки інтегральних типів диференціальних рівнянь 1-го порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

• Визначити основний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку та рівнянь Бернуллі.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Рівняння в повних диференціалах.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 5

Тема: Рівняння в повних диференціалах

План лекції № 5

1. Загальний метод розв’язання рівнянь в повних диференціалах.

2. Приклади.

Розглянемо рівняння І-го порядку в симетричній формі (1), де – неперервні в області функції.

Вважаємо, що та область не вміщують особих точок рівняння (1).

Визначення: рівняння (1) називається рівняння в повних диференціалах, якщо існує така неперервно диференційована функція , що в .

Рівняння , де визначає всі рішення рівняння (1). Крива, що проходить через точку одним чином визначається через рівняння .

Встановимо за функціями , що рівняння (1) є рівнянням в повних диференціалах.

Нехай шукана функція двічі неперервно диференцирується в области , тоді маємо, що (за необхідною умовою диференціювання функції двох змінних): в області .

Тоді: , якщо мішані похідні є рівними, то в .

---

Якщо область – однозв’язна, то отримана умова є, також, достатньою.

Функцию знаходимо з системи рівнянь:

Приклад. Розв’язати рівняння

дане рівняння є рівнянням в повних диференціалах.

Розв’язок шукаємо у вигляді .

Складаємо систему:

Інтегруємо перше рівняння системи по змінній х. Маємо

, де , так як відносно змінної Х.

. Далі, знаходимо похідну від отриманої функції за змінною у, тобто , та результат підставимо у друге рівняння системи:

, .

Отже, .

– загальний розв’язок рівняння.

Домашнє завдання: [2], стор. 32-39; [3], §6, стор. 25-27, №№ 186-190, стор. 27.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 4.doc

• лекция № 3.doc

• лекция № 2.doc

• лекция № 1.doc

• лекция № 17.doc