МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 6

з теми: «Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Мета:

• Дидактична: вивчити методи розв’язання рівнянь в повних диференціалах, знаходити розв'язки інтегральних типів диферен-ціальних рівнянь 1-го порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

• Визначити основний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку та рівнянь Бернуллі.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 6

---

Тема: Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник

План лекції № 6

1. Загальний метод розв’язання рівнянь, що приводяться до рівнянь в повних диференціалах. Пошук інтегрувального множника.

2. Приклади.

(1) – рівняння І-го порядку в симетричній формі, где – непрерывные в области плоскости, причому та область не вміщують особих точок рівняння (1).

Визначення: рівняння (1) називається рівняння в повних диференціалах, якщо існує така неперервно диференційована функція , що в .

Але виникає питання: чи можливо рівняння в симетричній формі звести до рівняння в повних диференціалах шляхом помноження його на деяку функцію µ(х, у)?

Нехай задано рівняння , для якого в області G виконано, що.

Визначення: Неперервно диференційована в області G функція µ(х, у) ≠ 0 називається інтегрувальним множником рівняння (1), якщо рівняння є в області G рівнянням в повних диференціалах.

Якщо інтегруючий множник µ(х, у) ≠ 0 існує для рівняння (1), то він повинен задовольняти рівність . Ця рівність дає наступне рівняння для µ(х, у): (2). При інтегруванні такого рівняння виникають труднощі, але нам потрібно знайти тільки один розв’язок цього рівняння, наприклад, µ = µ(х), µ = µ(у).

В багатьох випадках диференціальне рівняння (1) можна домножити на функцію , після чого воно стане диференціальним рівнянням в повних диференціалах. Функцію називають інтегрувальним множником, а – відповідним йому інтегралом диференціального рівняння (1), тобто

---

. (2)

Звідки

, (3)

отже

.

Маємо

(4)

– це рівняння в частинних похідних першого порядку відносно функції . В загальному випадку знайти з рівняння (4) важко.

Розглянемо випадки , коли можна визначити з (4).

А.

При маємо диференціальне рівняння

. (5)

Для існування інтегрувального множника в такій формі необхідно, щоб

, (6)

тоді , тобто

. (7)

Для простоти візьмемо , будемо мати

. (8)

Б. Маємо . Звідки . Якщо , то

. (9)

В. , де – відома функція. Тоді рівняння (10) приймає вигляд

---

.

Якщо , то

. (11)

При умові, якщо

, (12)

то диференціальне рівняння (2.110) можна проінтегрувати і знайти

. (13)

Знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки. Так як , то , тобто диференціальне рівняння (2.5) перепишемо так

. (14)

Звідки дає інтеграл . А рівняння може дати особливі розв’язки. Для їх знаходження потрібно:

• знайти криві, на яких приймає нескінченні значення;

• перевірити, чи є ці криві розв’язками диференціального рівняння (1);

• перевірити єдиність в кожній точці цих кривих.

Якщо ж обмежена функція , то особливих розв’язків немає.

Теорема (про існування інтегрального множника). Якщо диференціальне рівняння (1) має загальний інтеграл , для якого існують частинні похідні другого порядку , то це рівняння має інтегрувальний множник.

Доведення. Так як інтеграл , то в силу (1), тобто

,

---

Смотрите также файлы

• лекция № 5.doc

• лекция № 4.doc

• лекция № 3.doc

• лекция № 2.doc

• лекция № 1.doc