МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 8

з теми: «Рівняння Лагранжа та Клеро.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Рівняння Лагранжа та Клеро.

Мета:

• Дидактична: вивчити методи розв’язання диференціальних рівнянь, не розв’язаних відносно похідної, зокрема метод введення параметру. Розглянути метод розв’язання задачі Коші для даного типу рівнянь першого порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

• Визначити основний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку та рівнянь Бернуллі.

• Визначити основний метод розв’язання рівнянь в повних диференціалах.

• Визначити основний метод пошуку інтегруючого множника.

• Визначити методи розв’язання рівнянь, не розв’язаних відносно похідної.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Рівняння Лагранжа та Клеро.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 8

Тема: Рівняння Лагранжа та Клеро

План лекції № 8

1. Рівняння Лагранжа.

2. Рівняння Клеро.

Загальний метод введення параметру

Розглянемо диференціальне рівняння (1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(18)

так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (18) і співвідношення ми завжди диференціальне рівняння (1) можемо привести до диференціального рівняння, яке розв'язане відносно похідної

.

Тому

.

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до диференціального рівняння

. (19)

Якщо

(20)

– загальний розв'язок диференціального рівняння (19), то загальний розв'язок диференціального рівняння (1) можна отримати в параметричній формі

. (21)

Розглянемо деякі частинні випадки.

---

1. Диференціальні рівняння, розв'язані відносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

. (22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

. (23)

Маємо

.

Звідки

. (24)

Нехай – загальний розв'язок диференціального рівняння (24), тоді – загальний розв'язок диференціального рівняння (22).

Диференціальне рівняння (24) може мати особливий розв'язок , тоді диференціальне рівняння (22) може мати особливий розв'язок .

2. Випадок, коли диференціальне рівняння розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

. (25)

Інтегрується воно аналогічно диференціальному рівнянню (22). Покладемо . Тоді

.

Використовуючи співвідношення , отримаємо

.

Звідки

. (26)

Якщо – загальний інтеграл диференціального рівняння (26), то

---

(27)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (25).

Якщо – особливий розв'язок диференціального рівняння (26), то – може бути особливим розв'язком диференціального рівняння (25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

3. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

. (28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

. (29)

З (29) маємо

,

. (30)

Диференціальне рівняння (3.30) лінійне по

. (31)

Нехай – розв'язок диференціального рівняння (31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

. (32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

, (33)

тобто

, (34),

де – корені рівняння (33). Розв'язок (34) може бути частинним або особливим.

4. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли

. (35)

Покладемо , тоді

. (36)

---

Смотрите также файлы

• лекция № 7.doc

• лекция № 6.doc

• лекция № 5.doc

• лекция № 4.doc

• лекция № 3.doc