ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.05.2025
Просмотров: 178
Скачиваний: 0
2.4 Визначник Вронського. Формула Якобі
Визначник
називається визначником Вронського
або вронськіаном системи (28).
На основі теореми 7 можна сказати:
а) якщо система векторів
(36) лінійно залежна, то
;
б) якщо система (36)
лінійно незалежна, то
,
і матриця
буде інтегральною.
Теорема 9.
Припустимо, що матриця
системи диференціальних рівнянь (28)
має неперервні елементи на
.
Якщо матриця
задовольняє (28), то
, (43)
де
.
Рівність (43) називають формулою Якобі.
Доведення. Запишемо систему матричних диференціальних рівнянь (42) у вигляді
.
Тоді
, (44)
де
–
деякі визначники. Обчислимо визначник
.
З першого рядка
віднімемо суму другого рядка, помноженого
на
,
третього на
,
… . Отримаємо
.
Аналогічно показується, що
.
Таким чином,
,
звідки отримуємо формулу Якобі (43).
Теорема доведена.
З формули
(43) випливає, що якщо
,
тобто система функцій в точці
лінійно залежна, то
,
якщо ж
,
то
.
Теорема 10.
Припустимо, що матриця
задовольняє диференціальне рівняння
(42). Для того, щоб вона була інтегральною
необхідно і достатньо, щоб
. (45)
Доведення.
Достатність. Припустимо, що
.
Це означає, що вектори
є розв’язками системи диференціальних
рівнянь (28) і лінійно незалежні, тобто
– інтегральна матриця.
Необхідність.
Нехай
– фундаментальна матриця. В силу теореми
(8) задача Коші
має єдиний розв’язок
,
де
визначається з системи
. (46)
Оскільки система (46)
має єдиний розв’язок, то
.
А тоді, в силу (43),
.
Теорема доведена.
З
допомогою матриці
загальний розв’язок лінійної системи
можна записати у вигляді
, (47)
де
.
Спряжені системи
Розглянемо дві системи
, (48)
, (49)
які називаються спряженими (тут Т – знак транспонування).
Для цих систем справедлива властивість
. (50)
Дійсно
.
Якщо
і
– інтегральні матриці для систем (49),
(50) відповідно, тобто
, (51)
, (52)
то
, (53)
де
– постійна матриця. Дійсно
.
Якщо
,
то
. (54)
Домашнє завдання: [3], стор. 181-199.