Файл: лекция № 20.doc

Система (1) имеет тривиальное решение .

Нетривиальное решение ищем в виде , где - -мерный вектор.

Подст. в систему (1), получим - собственный вектор преобразования , является корнем уравнения , где - единичная матрица .

Лемма 2.

Для того, чтобы вектор-функция была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы было собственным значением, а - соответствующим ему собственным вектором преобразования .

Итак, теорема 1:

Пусть базис из собственных векторов лин. преобразования и пусть соотв. собственные значения. Тогда:

2. а) , где , является решением системы (1);

б) если - какое-либо решение системы (1), то такие , при которых задается формулой (2).

---

Функция вида (2) – общее комплексное решение однородной системы.

Пример.

Найти общее комплексное решение системы:

Решение

Матрица системы

Ищем собственные значения матрицы

Ищем собственные векторы для .

Т.к. различны, то образуют базис в .

Значит,

Пример 2

Решить систему уравнений

Для , для .

Итак, - образуют базис в .

Значит, , где .

2. Когда линейное преобразование имеет собств. значение , кратности , то собственных векторов , соотв. , меньше и в этом случае нельзя построить базис в .

---

Однако, по теореме Жордана: каково бы ни было линейное преобразование в пространстве , состоит из Жордановых цепочек для всех собственных значений.

Жорданова цепочка:

Жордановой цепочке длины соответствуют решения вида:

(3)

Лемма: Каждая из вектор-функций сист. (3) является решением системы (1).

3. На практике, нахождение общего решения (1) сводится к нахождению собственных значений матрицы , построению Жорданова базиса и использования формулы общего решения в виде

Итак, при

а) собств. значение , кратности 2, Жорданова цепочка состоит из вектора и присоединенного к нему вектора , тогда решение

при

б)

, присоед.

в)

Присоед.

---

Пример 3.

Решит систему:

, присоед. из системы

Значит,

Домашнє завдання: [3], стор. 192-199, [2], стор. 91, №№788-791.

---