Файл: лекция № 20.doc

.

Знаходимо

. (80)

Матрицю можна знайти з допомогою ряду (71), так як . Це означає, що в ряді (71) відмінні від нуля тільки перші членів.

Розглянемо ряд прикладів, в яких матриця Жордана має різну структуру, тобто корені характеристичного рівняння будуть мати різний вигляд.

Приклад 5. Обчислити , якщо А = .

Розв'язання. Розглянемо характеристичне рівняння , . Знайдемо невироджену матрицю , щоб , де :

, ,

тобто

і .

Остаточно маємо:

.

Приклад  Знайти , якщо А = .

Розв'язання. Знайдемо корені характеристичного рівняння . Оскільки , то . Визначимо матрицю :

, .

---

Тому .

Але . Тому .

Приклад 7. Знайти , якщо .

Розв'язання. Так як , то – жорданова форма. Аналогічно визначаємо

, .

Тому

.

Представимо

, тоді , де . Легко обчислити (згідно (71)), що

, .

Тому

Структура фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера

Розглянемо лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами в векторно – матричній формі

. (81)

Лінійно незалежні розв'язки, згідно Ейлеру, шукаємо у вигляді

, (82)

де h – власний вектор , – власне значення, тобто

, . (83)

Число повинно задовольняти характеристичне рівняння

---

. (84)

Розглянемо різні випадки:

а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Тоді

(85)

система n – лінійно незалежних розвязків, так як в даному випадку кожному відповідають лінійно незалежні власні вектори ;

б) характеристичне рівняння має пару комплексно спряжених коренів . Тоді кореню відповідає власний вектор . Це означає, що система (81) має комплексний розвязок

Звідки

, (86)

– два лінійно незалежні розв’язки, які відповідають кореням . При цьому розгляд кореня не дає нових лінійно незалежних розв'язків;

в) розглянемо випадок кратних коренів. Нехай (s<n) – різні розв'язки характеристичного рівняння (84), тобто

.

Тоді матрицю А можна представити клітками Жордана, тобто знайдеться неособлива матриця S така, що

S^-1AS=,

де .

Отже, заміною прийдемо до системи диференціальних рівнянь

, .

---

Якщо , – вектори розмірності , то маємо

. (87)

Розглянемо одну з підсистем системи (87) з матрицею

+=.

Фундаментальна матриця для системи (87) має вигляд

,

то знаючи заміну , матриця буде фундаментальною для даної системи.

Визначимо

.

Але , де – одинична матриця розмірності , причому

, …, .

Таким чином

.

Домножаючи на отриману матрицю будемо мати інтегральну матрицю для даної системи.

Враховуючи вид інтегральної матриці для побудови лінійно незалежних розв'язків j – ої підсистеми

(88)

можна поступити так. Шукаємо ,

, .

Тобто , . Звідки

---

. (89)

Тобто

, .

Отже

.

Міркуючи аналогічно можна отримати , тому

. (90)

Висновки. Якщо характеристичному числу відповідає тільки один елементарний дільник, то ми отримуємо тільки одну групу розвязків виду (90), яка містить розвязків (цей випадок відповідає тому, що ранг характеристичної матриці дорівнює (n-1)). Якщо ж відповідає декілька елементарних дільників , , то йому відповідає m груп розвязків типу (90). Причому кожна з груп має відповідно – розвязків. Якщо всі елементарні дільники прості, то ми маємо випадок простого кореня.

1. Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

(1) , где - матрица , - вектор функция - ?

Лемма 1 (принцип суперпозиции):

Если - решение системы (1), а -произв. комплекс. числа, то - также решение системы.

Пусть - матрица некоторого линейного преобразования в пространстве столбцов в ортонормированном базисе .

---