Файл: математика Раздел1 практика.pdf

Задача сводится к определению расстояния от точки R до прямой PQ.

Следовательно, длина высоты равна 5.

Задания для решения:

1. Найти углы между прямыми:

провести прямую, перпендикулярную первой из них, и прямую, параллельную прямой 2х + 6у – 2 = 0.

3.Даны две стороны параллелограмма: х – у + 1 = 0, 3х + 2у – 12 = 0 и точка Е (6, 4) пересечения его диагоналей. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма.

4.Стороны треугольника заданы уравнениями: 7х – 6у + 9 = 0;

5х + 2у – 25 = 0; 3х + 10у + 29 = 0. Найти координаты вершин и уравнения высот треугольника.

5. Найти точку, симметричную точке M (5, 5) относительно прямой

х+ у – 3 = 0.

6.Найти проекцию точки M (–5, 4) на прямую х – у – 5 = 0.

25

Тема 1.8 Полярная система координат на плоскости. Построение линий, заданных уравнениями в полярной системе координат.

(чертеж)

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, луча Ох, исходящего из этой точки и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч Ох – полярной осью. Если М – произвольная точка плоскости, то ее положение на плоскости определяется заданием двух чисел:

Образцы решения задач:

ПРИМЕР

Задания для решения:

3.Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

а) х = у ;

б) х + у – 1 = 0; в) х2 + у2 = 16; г) х2 – у2 = 4;

д) х2 + у2 = 6х.

4. Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:

а) r = 5;

26

27

Тема 1.9 Кривые 2-ого порядка на плоскости.

Кривые второго порядка

y ba x.

Директрисы гиперболы

x a

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4х2 + 9у2 = 16. РЕШЕНИЕ: Разделив на 16 обе части уравнения, получим

Таким образом, имеем:

ПРИМЕР Написать простейшее уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки

L(32; 22), N (6; 0) .

РЕШЕНИЕ: Простейшее уравнение указанного эллипса имеет вид

Определим а2 и b2 из условия принадлежности эллипсу точек L и N. Подставляя координаты этих точек в данное уравнение, получим:

Из второго уравнения находим, что а2 = 36. Подставляя найденное значение а2 в первое уравнение, получаем

откуда b2 = 16.

Таким образом, искомое решение будет

ПРИМЕР Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения

асимптот и директрис гиперболы

9х2 – 16у2 = 144.

РЕШЕНИЕ: Приведем данное уравнение к каноническому виду, для чего необходимо разделить обе части его на 144. Выполняя деление, получим

получаем уравнения асимптот:

y 34 x .

29

В соответствии с формулой x a , находим уравнения директрис:

ПРИМЕР Составить простейшее уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, пересекающей ось Оу и проходящей через

две точки: M (24, 55), N (0, 5) . Найти фокусы этой гиперболы. РЕШЕНИЕ: Уравнение гиперболы ищем в виде

Так как точки М и N лежат на гиперболе, то их координаты удовлетворяют уравнению гиперболы.

Подставляя координаты данных точек в это уравнение, получим

Решая полученную систему, найдем:

b2 25, a2 144.

Таким образом,

есть искомое уравнение.

Определим с по формуле c a2 b2 144 25 13.

Фокусы данной гиперболы лежат на оси Оу: F1 (0, –13), F2 (0, 13).

ПРИМЕР Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y 2 12x.

РЕШЕНИЕ: Сравнивая уравнение y 2 12x с уравнением y 2 2 px , получаем

фокус находится в точке F (3, 0).

ПРИМЕР Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы x2 8y.

РЕШЕНИЕ: Сравнивая уравнение x2 8y. с уравнением x2 2 py , получаем

фокусом является точка F (0, 2).

ПРИМЕР Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0, 3) и прямой у = –5.

30