Файл: математика Раздел1 практика.pdf

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (x1; y1; z1)

(b ; b ; b ).

и параллельной двум неколлинеарным векторам a

(a ; a ; a ), b

1

2 3

1 2

3

Написать уравнение в случае, когда M1 (2; –1; 3), a

(1;

1; 2),

b

(2; 1;

3).

Тема 1.11 Прямая в пространстве. Задачи на задание прямых в

пространстве. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости в

пространстве.

Канонические уравнения прямой:

Параметрические уравнения прямой:

й

й

и

щ

ы

ю

ьн

я

авл

л

а

р

м

р

тор )

Нор

о

п

т

а

к

p

к

)

zн

ве

е

;

в

C

n

;

B

;

m

z)

;

;y

;

A

(

(

s

M

(x

n

z )

z

; 0

;y0

(x0

M0

l

;y;

z)

y

M

(x

z )

; 0

;y0

(x0

M0

x

l

y

x

x0

y

y0

z

z0 .

x

m

n

p

x

x0

mt,

y

y0

nt,

z

z0

pt.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

z

)

z2

;

y2

;

2

x

(

2

M

)

z1

;

y1

;

1

x

(

1

l M

x

x

x1

y

y1

z

z1 .

x2

x1

y2

y1

z2

z1

37

Взаимное расположение прямых l1 и l2 в пространстве:

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

z

;

2

;

n1

z

;

n1

;

n2

;

m

m

;

(m2

l 1

;

2

y

n2

l

;

l2

l2

(m2

1

y

x

x

m1

n1

p1

m n p

m1m2

n1n2

p1 p2

0

2

2

2

Прямая как линия пересечения плоскостей.

z

n (A1; B1; C1)

l

x

y

A1x B1 y C1 z D1

0;

A2 x B2 y C2 z D2

0.

Угол между двумя прямыми:

Угол между прямой и плоскостью:

z

;

z

n1

)

;

m

p

;

n

;

m

;

2

(

n ( A; B;C)

s

n2

;

(m2

l 1

l

l2

y

x

y

x

m1m2

n1n2

p1 p2

sin

Am

Bn

Cp

cos

A

2

B

2

C

2

m

2

n

2

p

2

2

2

2

2

2

2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

38

x

x0

mt,

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулами

y

y0

nt,

z

z0

pt.

Так как в данном случае

x0

1, y0

2,

z0

3, m

2, n 4, p 5 , то

параметрические уравнения прямой имеют вид:

x

1

2t,

y

2

4t,

z 3 5t.

При t = 2 получаем

x 1 2 2 5; y

2 4 2 6; z 3 5 2

7.

На прямой фиксирована точка Р (5; 6; –7).

ПРИМЕР Составить канонические уравнения прямой,

проведенной через

точку M0 (6; 2; –3)

и параллельной вектору s (4;

5; 7) . Лежат ли на этой

прямой точки Р (2; 7; –10), Q (10; –3; 5), R (3; 4; 7)?

РЕШЕНИЕ: Применяем формулу

x

x0

y

y0

z

z0

. Так как

m

n

p

x0 6, y0 2, z0

3, m 4, n

5,

p

7 , то канонические уравнения

примут вид

x

6

y

2

z

3

.

4

5

7

2

6

7

2

10

3

1,

10

6

3

2

5

3

,

4

5

7

4

5

7

3

6

4

2

7

3

.

4

5

7

Следовательно, точка Р лежит на прямой, а точки Q, и R на прямой не

лежат.

ПРИМЕР По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти:

1)

угол между ребрами А1А2 и

А1А4 ;

2)

площадь грани А А А ;

1

2

3

39

6) угол между ребром А А

и гранью А А А .

1

4

1

2

3

А (0; 4; 5) ;

А ( 3; 2; 1) ;

А (4; 5; 6) ;

А (3; 3; 2) .

1

2

3

4

А1А2 = (х2

х1; у2

y ;

z2

z1) =

(3 – 0; 2– 4;

1–5)

=

(3;– 6;

– 4) ;

1

А1А4 = (х

4

х1; у

4

y ;

z4

z1) =

(– 0;

3 – 4; 2 –5)

= (3;

–1;

–3).

1

Косинус угла между двумя векторами

а

(а1; а2 ; а3 )

и

в

(в1; в2 ; в3 )

найдем по формуле

cos

a в

а1в1

а2в2

а3в3

.

а

в

2

2

2

2

2

2

а1

а2

а3

в1

в2

в3

Для данных векторов имеем:

cos

9

6

12

27

.

9

36

16

9

1

9

61

19

Тогда φ = arccos

27

.

61

19

2. Известно, что модуль векторного произведения

а

в равен площади

параллелограмма, построенного на векторах

а ,

в . Тогда площадь

треугольника равна

S

1

a

в

.

2

Рассмотрим векторы А1А2 и

А1А3 :

=

i

j

k

6

4

3 4

3 6

3

6

4

i

j

k

2i 19 j 27k .

4

1

1

1

1

4

1

4

1

40