Файл: математика Раздел1 практика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2025

Просмотров: 865

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

РЕШЕНИЕ: Искомым геометрическим местом будет парабола. Напишем ее уравнение. Пусть М (x; у) – произвольная точка геометрического места. По условию MF = MN, где N – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую у = –5.

Так как

MF

x2

( y 3)2 и MN

( y ( 5))2 ,

то

x2

( y 3)2

( y 5)2 ,

откуда

x2

y 2

6 y 9 y 2

10y 25 .

Приводя подобные члены, получим уравнение параболы x2 16y 16 .

Задания для решения:

1. Найти каноническое уравнение эллипсов по следующим данным: а) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;

б) малая полуось равна 12 и эксцентриситет равен 135 ;

в) эксцентриситет равен 0,6, расстояние между фокусами 6; г) сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами 12.

2. Определить длины осей, координаты фокусов и экцентриситеты эллипсов, заданных уравнениями:

а) 9х2

+ 25у2 = 225;

б) 9х2

+ у2 = 36.

x2

y2

3. Написать уравнения директрис эллипса

1 .

125

100

4.Написать канонические уравнения гипербол, если известно, что:

а) расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет 53 ;

б) действительная полуось равна 20 и гипербола проходит через точку М (–10; 4);

5. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситеты гипербол, заданных уравнениями:

а) 144х2 – 25у2 = 3600; б) 9у2 – 16х2 = 144.

x2

y2

6. Дан эллипс

1

. Найти уравнение гиперболы, вершины

9

6

которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса. 7. Написать уравнение параболы, зная, что:

31

а) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку N (–3, 6) и начало координат;

б) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку N (6, 3) и начало координат;

8. Найти координаты фокусов и уравнение директрисы параболы,

заданной уравнением:

а) у2 = 6х;

б) х2 = 4у;

в) у2 =– 6х;

г) х2 = 4у.

32

Тема 1.10 Плоскость в пространстве. Задачи на составление уравнений плоскостей в пространстве.

Уравнение

плоскости,

Уравнение плоскости, проходящей через

проходящей

через

точку

три точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2),

M0 (x0; y0; z0) и перпендикулярной

M3 (x3; y3; z3):

вектору n ( A; B;C) :

ьный

мал

р

Но

ктор

ве

;C)

;B

n

(A

)

)

;z3

;z2

;y3

;

y2

x3

(

(x2

M3

M2

z )

; 1

;y1

(x1

M1

z )

; 0

;y0

(x0

M0

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0

.

Уравнение

плоскости

в

отрезках:

z

c

b

a

y

x

x

y

z

1.

a

b

c

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 .

x3

x1

y3

y1

z3

z1

Общее уравнение плоскости:

й

;C

)

ы

н

A

B

аль

м

(

;

n

р

тор

Но

ек

в

Ax By Cz D 0 .

Образцы решения задач:

ПРИМЕР

Составить уравнение

плоскости,

перпендикулярной

вектору

M0 (5; 2; –3).

n (2; 1; 4)

и проходящей через

точку

Лежат

ли

на этой

плоскости точки Р (1, 2, –1), Q (4, 5, 1) и R (–6, 2, –3)?

РЕШЕНИЕ: Подставляя в уравнение A(x

x0 )

B( y y0 )

C(z

z0 )

0

значения А = 2, B = –1, С = 4, х0 = 5, у0 = 2, z0 = –3, получим 2 (х–5) – (у–2) + 4 (z+3) = 0.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое уравнение плоскости

2х – у + 4z+4 = 0.

Выясним, лежат ли точки Р, Q и R на данной плоскости. Подставляя последовательно координаты этих точек в левую часть последнего уравнения, получим:

33

2

1

1 2

4

(

1)

4

0;

2

4

1 5

4 1

4

0;

2

(

6) 1 2

4

(

3)

4 0.

Следовательно, точка Р лежит на данной плоскости. Точки Q и R плоскости не принадлежат. Они находятся по разные стороны от нее (в результате подстановки их координат в уравнение плоскости получены числа разных знаков).

ПРИМЕР Определить отрезки, отсекаемые плоскостью 2х – 3у + 8z – 4 = 0 на осях координат.

РЕШЕНИЕ: Разделив обе части уравнения на 4, получаем:

x

3

y

2z 1 или

x

y

z

1.

2

4

2

4

1

3

2

Сравнивая последнее уравнение с уравнением

x

y

z

1, находим:

a

b

c

a

2, b

4

, c

1

.

3

2

ПРИМЕР Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные

точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2), M3 (x3; y3; z3). Написать уравнение для случая M1 (1; 3; –2), M2 (4; –5; 6), M3 (–3; 1; 2).

РЕШЕНИЕ:

)

)

;z3

;z2

;y3

;

y2

x3

(

x2

3

(

M

M

2

)

)

;z1

;y1

y

;z

x1

;

(

1

x

M

(

M

r

r2

r3

r1

O

Пусть

М

–

произвольная

точка

плоскости и

r1

OM1 , r2

OM 2 , r3

OM3 ,

r

OM

– радиус – векторы точек M1, M2, M3,

M.

Введем в рассмотрение векторы:

M1M 2

r2

r1

,

M1M3

r3

r1

, M1M r r1.

Поскольку эти три вектора лежат в одной плоскости, то их смешанное

произведение равно нулю, т.е.

(r r1 )(r2

r1 )(r3

r1 ) 0.

34

Это уравнение в координатной форме имеет вид:

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 .

x3

x1

y3

y1

z3

z1

Уравнение плоскости, проходящей через

точки

M1 (1; 3; –2), M2 (4; –5; 6),

M3 (–3; 1; 2) в соответствие с приведенной выше формулой имеет вид:

x 1

y 3 z 2

x 1 y 3 z 2

4

1

5

3

6

2

0 или

3

8

8

0 .

3

1

1

3

2

2

4

2

4

Разлагая последний определитель по элементам первой строки, получим:

(x 1)

8

8

( y 3)

3 8

(z 2)

3

8

0

2

4

4

4

4

2

8x 22y

19z

36 0.

ПРИМЕР Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 (1; –2; 6), M2 (5; –4; –2) и отсекающей равные отрезки на осях Ох и Оу. РЕШЕНИЕ: Уравнение плоскости ищем в виде

x

y

z

1.

a

b

c

По условию a = b, поэтому уравнение можно записать так:

x

y

z

1.

a

a

c

Подставляя координаты точек M1 и M2 в последнее уравнение, получим

1

2

6

1,

5

4

2

1

a

a

c

a

a

c

или

1

6

1,

1

2

1.

a

c

a

c

Решая полученную систему уравнений, находим с = 2, a

1

.

2

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

x

y

z

1

1

1

2

2

2

или

4х + 4у + z – 2 = 0.

Задания для решения:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; –1; –4)

и перпендикулярной вектору n (3; 6; 1) , в векторной и координатной формах.

2. Определить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями:

а) 2х – 3у + 4z – 24 = 0.

35

Смотрите также файлы