Файл: СМ задания.pdf

3. Найдём перемещения характерных сечений стержня: а - а, d -d, е - е, I - I (рисунок 2, г). Перемещение сечения а - а равно нулю, так как в этом сечении

Строим график перемещений сечений стержня по его длине (рисунок 1, г).

Кручение

Стержень испытывает деформацию кручение, если в его поперечных сечениях под действием внешних моментов возникают внутренние крутящие моменты , лежащие в плоскости сечения стержня. Для определения опасного сечения стержня, используя метод сечений, строится эпюра крутящих моментов.

Напряжение в любой точке поперечного сечения определяется по формуле:

где Тк – крутящий момент в рассматриваемом сечении; JP – полярный момент инерции сечения;

ρ – удаление рассматриваемой точки от центра тяжести сечения.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:

где Wр = Jrp – полярный момент сопротивления сечения.

11

Угловые перемещения сечений стержня

ϕ = Tk ×l , G × J p

где G – модуль упругости при сдвиге.

Задача № 2

К стальному ступенчатому стержню, имеющему сплошное круглое поперечное сечение, приложены крутящие моменты. Левый конец стержня жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен. Расчетные схемы представлены на рисунке 5, а числовые данные приведены в таблице 2. Требуется:

1)построить эпюру крутящих моментов по длине стержня;

2)при заданном значении допускаемого напряжения на кручение

определить диаметры d1 и d2 стержня из расчета на прочность, полученные значения округлить;

3)построить эпюру действительных напряжений кручения по длине стержня;

4)построить эпюру углов поворота сечений, приняв модуль упругости при сдвиге G = 0,8×105 Н/мм2.

Таблица 2 – Числовые данные к задаче № 2

12

Пример 2 К стальному ступенчатому стержню, имеющему сплошное круглое поперечное сечение, приложены крутящие моменты (рисунок 3). Требуется:

1)построить эпюру крутящих моментов по длине стержня;

2)при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 стержня из расчёта на прочность;

3)построить эпюру действительных напряжений кручения по длине стержня;

4)построить эпюру углов поворота сечений, приняв модуль упругости при

сдвиге G = 0,8 ∙ 105 Н/мм2, Т1 = 4,5 кН∙м, Т2 = 2 кН∙м, Т3 = 3 кН∙м, Т4 = 7,5 кН∙м,

а = 1,5 м, b = 2 м, с = 1 м, [τ ] = 60 Н/мм2, Е = 2∙105 Н/мм2.

Решение. 1) Для определения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях стержня, воспользуемся методом сечений. Разобьём стержень на участки Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV (см. рисунок 3). На участке Ι мысленно проведём сечение 1- 1, которое рассечёт стержень на две части. Рассмотрим равновесие правой от сечения части стержня, на которую действует внешний момент Т1 и внутренний крутящий момент Т1k, которым мы заменили действие отброшенной левой части. Крутящий момент Тk, возникающий в сечении, считается положительным, если при взгляде со стороны торца отсечённой части стержня, действующий на него внешний момент виден направленным по ходу часовой стрелки. Если на отсечённую часть стержня действует несколько внешних моментов, то крутящий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме внешних моментов, расположенных по одну сторону от сечения. Найдём значения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях рассматриваемых участков стержня.

При определении значения d2 ( участки ΙΙΙ, ΙV ) Tk max = 5,5 кН∙м = 5,5∙106 Н∙мм

13

Полученные значения диаметров d1 и d2 округляем до ближайшего большего значения кратного пяти. Принимаем d1 = 75 мм, d2 = 80 мм.

Рисунок 3 – Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота сечений вала

3) Определяем действительные напряжения кручения в сечениях вала по его длине:

14

4)Определяем полные углы поворота сечений вала по его длине:

=∙ ,

Угол поворота сечения С-С состоит из суммы углов поворота сечения В-В и угла поворота сечения С-С по отношению к сечению B-В.

.

Аналогично определяем углы поворота сечений Д-Д и Е-Е:

Строим эпюру углов поворота сечений по длине вала (рисунок 3).

15