Файл: Тер.вер(решение задач).pdf

P(H1 ) = 13 ; P(H 2 ) 14 ; P(H 3 ) =1− P(H1 ) = P(H 2 ) =1− 13 − 14 = 125 .

Значения условных вероятностей даны в условии задачи:

P(A / H1 ) = 0,2; P(A / H 2 ) = 0,15; P(A / H 3 ) = 0,05 .

Отсюда имеем:

Задача 39. В библиотеке имеется 5 методичек выпуска 1992 года и 9 методичек по той же теме выпуска 1996 года. Библиотекарь выдает на группу 6 методичек. Какова вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 1996 года, если библиотекарь берет методички произвольно?

Решение.

Пусть A – искомое событие. Согласно классической формуле вероятность искомого

Отсюда вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 1996 года равна

Задача 40. Из N = 28 частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в М = 12 банках. Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из N банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью p = 0,7. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов?

Решение.

Обозначим через А случайное событие, вероятность которого надо определить: А – в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов.

Введем гипотезы: Hi – среди выбранных для проверки трех банков ровно в i банках имеют место нарушения в уплате налогов, где i = 0; 1; 2; 3; события Н0, Н1, Н2, Н3 образуют полную группу несовместных событий.

Вероятность события А можно будет найти по формуле полной вероятности

Проверим условие нормировки:

3

∑P(Hi ) = 0,1709 + 0,4396 + 0,3223 + 0,0672 =1.

i=0

Найдем условные вероятности события А относительно каждой гипотезы, т.е. найдем вероятности того, что нарушения в уплате налогов будут выявлены хотя бы в одном из

проверяемых трех банков в каждом рассматриваемом случае. Вероятность Р(А/Hi) можно найти по формуле (т.к. банки проверяются независимо один от другого)

Р(А/Hi) = 1–(1–р)i, где i = 0; 1; 2; 3; р = 0,7.

Р(A/H0) = 1–(1–p)0=1– (1–0,7)0 = 1–1 = 0, действительно, событие А и H0 несовместны.

Р(A/H1) = 1–(1–p)1=1– (1–0,7)1 = 1–1+0,7 = 0,7. Р(A/H2) = 1–(1–p)2=1– (1–0,7)2 = 1–0,09 = 0,91. Р(A/H3) = 1–(1–p)3=1– (1–0,7)3 = 1–0,027 = 0,973.

Используя формулу полной вероятности, найдем

P(A) = 0,1709 0 + 0,4396 0,7 + 0,3223 0,91 + 0,0672 0,973 = 0,6664 .

Задача 41. В телеателье имеется три кинескопа. Вероятности неисправности каждого из них соответственно равны 0,1; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что среди этих кинескопов исправными окажутся: а) два кинескопа; б) хотя бы один кинескоп.

Решение.

а) Обозначим события A1, A2, A3 – исправным оказался 1-й, 2-й, 3-й кинескоп, соответственно. Очевидно, что эти события независимые. Тогда вероятность того, что среди трех кинескопов исправными окажутся два, равна

P(B) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) =

=P( A1 )P(A2 )P(A3 ) + P( A1 )P(A2 )P( A3 ) + P(A1 )P( A2 )P( A3 ) =

=0,9 0,8 0,1 + 0,9 0,2 0,9 + 0,1 0,8 0,9 = 0,072 + 0,162 + 0,072 = 0,306 .

б) Обозначим C – событие «среди трех кинескопов исправным окажется хотя бы один». Его вероятность равна

P(C) =1 − P(C) =1− P(A1 A2 A3 ) =1 − 0,1 0,2 0,1 =1 − 0,002 = 0,998 .

Задача 42. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти вероятность того, что на сборку попадет бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.

Решение.

Обозначим A – искомое событие «на сборку попадет бракованная деталь». Имеем три гипотезы: H1 – деталь поступила с 1-го автомата, H2 – деталь поступила с 2-го автомата, H3 – деталь поступила с 3-го автомата. Их вероятности по классической формуле равны:

Задача 43. Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильного набора пароля с первого раза, если комбинация цифр является строго возрастающей последовательностью.

Решение.

Обозначим через A – рассматриваемое событие. Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события P(A):

P(A) = mn ,

где m – число благоприятных событию A случаев; n – число всех случаев. Очевидно, что правильный номер единственный, следовательно, m =1.

Определим число всех случаев n. Всего имеем 10 цифр. Расположим эти цифры по возрастанию: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Очевидно, что все возможные варианты можно получить путем выбора из этой последовательности любых трех цифр без повторения (этих цифр не будет в пароле). Поэтому