ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.10.2025
Просмотров: 699
Скачиваний: 0
27
5.Теорема о предельных значениях
Эта теорема представляет большой интерес для практики, так как в ряде случаев при решении краевых задач теплопроводности и диффузии достаточно ограничиться знанием температурного поля или распределения концентрации растворенного вещества для начальных моментов времени от начала процесса тепло или массопереноса или, наоборот, для больших (по сравнению с характерным временем процесса) времен. Преобразование Лапласа в этом отношении обладает полезным свойством, состоящим в том,
что по асимптотическому поведению изображения f (p) можно найти соответствующее асимптотическое поведение оригинала.
Приведем эту теорему без доказательства. Подробнее см. [10].
Теорема. Если f (t) является оригиналом вместе со своей производной f 0(t) и f (p) + f (t) , то
|
|
|
|
lim p f (p) = f (0), |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(0) = t |
|
|
где |
p |
→ |
∞ |
внутри угла |arg |
p |
| < |
2 |
− |
δ |
( > 0) и |
f |
0+ |
( ) ; |
|
|
|
|
|
π |
|
δ |
|
lim |
f t |
|||||
если, кроме того, существует |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|||||
lim f (t) = f (∞),
t→∞
то lim p f (p) = f (∞) , где p → 0 внутри того же угла.
p→0
www.mitht.ru/e-library
28
6.Операционный метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности
Операционный метод решения краевых задач теплопроводности проиллюстрируем на примере решения первой краевой задачи теплопроводности для бесконечной пластины 0 ≤ x ≤ l с нулевой начальной температурой и температурой ϕ1(t) при x = 0 и ϕ2(t) при x = l . Математическая формулировка этой задачи имеет вид:
|
∂t |
= a |
∂x2 |
, |
|
∂T (x,t) |
|
∂2T (x,t) |
|
T (x,0) = 0,
T (0,t) = ϕ (t),
1
T (l,t) = ϕ (t),
2
0 |
< x < l, t > 0 |
(47) |
0 |
≤ x ≤ l, |
(48) |
t ≥ 0, |
(49) |
|
t ≥ 0. |
(50) |
|
Здесь T (x,t) — температура в точке x в момент времени t . Решение. Преобразуем уравнение (47) по формуле (1) пре-
образования Лапласа.
∞
Z ∂T (x,t)e−pt dt = a
∂t
∞
Z e−pt ∂2T (x,t)dt.
∂x2
0 |
0 |
В левой части этого равенства воспользуемся свойством (4) (изображение производной), а в правой части поменяем местами операции интегрирования и дифференцирования. (Это возможно при равномерной сходимости интеграла.) В результате получим:
|
|
|
d2 |
T |
(x, p) |
|
|
|
|
pT (x, p) = a |
, 0 |
< x < l, |
(51) |
||||||
|
dx2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
www.mitht.ru/e-library
29
∞
где T (x, p) = R e−pt T (x,t)dt .
0
Общее решение (51) удобно представить в виде: |
|
|
|||||||||||
T (x, p) = A(p) sh |
xr |
|
|
|
+ B(p) sh |
(l −x)r |
|
|
|
. |
(52) |
||
|
a |
|
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
Неизвестные коэффициенты A и B найдем, удовлетворяя граничным условиям (49) и (50), которые имеют вид в пространстве изображений:
|
|
(0, p) = ϕ1(p) |
(53) |
T |
|||
|
(l, p) = ϕ2(p). |
(54) |
|
T |
|||
Подставляя (53) и (54) выражение (52), найдем A(p) , B(p) :
A(p) = |
|
ϕ2(p) |
|
|
, B(p) = |
|
ϕ1(p) |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sh |
lqa |
|
lqa |
|
||||||||||
|
sh |
|
||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
Подставляя полученные выражения в (52), получаем решение задачи (47)–(50) в изображении:
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
||
|
|
sh |
(l −x) |
|
p |
sh |
x |
p |
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|||||||||
T (x, p) = ϕ1(p) |
|
+ ϕ2(p) |
|
|
|
. |
(55) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sh |
lqa |
|
sh |
lqa |
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
Переходя к оригиналу, с учетом теоремы о свертке, находим
t |
ϕ1(τ)W1(x,t −τ)dτ + Z |
t |
T (x,t) = Z |
ϕ2(t)W2(x,t −τ)dτ. (56) |
|
0 |
0 |
|
www.mitht.ru/e-library
30
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p |
||||||||||||
|
|
sh (l −x) |
|
|
|||||||||||
W1(x,t) + |
a |
|
|
, |
|||||||||||
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||
|
|
|
sh |
l |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
q |
a |
|
|
|
|
|
|
||||
W2 |
(x,t) + |
p |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sh lq |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||
Оригиналы записанных функций найдем, воспользовавшись те- |
||||
|
∞ |
z2k+1 |
|
|
оремой разложения. Так как |
sh z = å |
, то отношения ги- |
||
(2k+1)! |
||||
|
k=0 |
|
|
|
перболических синусов, через которые выражаются изображения функций W1(x,t) и W2(x,t) , удовлетворяют обобщению теоремы разложения (если домножить числитель и знаменатель на √p ), сформулированному выше. Применяя эту теорему в рассматриваемом случае, получим (формула (43)):
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q |
|
|
|
||||||
|
sh (l −x) |
|
|
p |
∞ |
|
(l −x) |
|
p |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
+ å |
|
sh |
|
|
a |
|
epkt , |
(57) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sh lqa |
k=1 hsh lq |
|
a |
i0p=pk |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где pk — корни уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sh |
lr |
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(58) |
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения корней этого уравнения воспользуемся тем, что sh x = −i sin ix . Тогда (58) примет вид
sin |
ilr |
|
a |
= 0, |
|
|
|
p |
|
www.mitht.ru/e-library
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|||
ilr |
|
|
|
= kπ, |
k = 0,±1,±2,... |
(59) |
||
|
ak |
|||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
2 |
|
|
pk = −a |
|
|
|
|||||
|
, k = 0,±1,±2,... |
(60) |
||||||
l |
||||||||
Подставляя pk в (57), учитывая при этом, что ch ix = cos x, i sh ix = −sin ix,
получим
q
|
sh (l −x) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
2πa ∞ sh (l x)πlik |
|
|
|
|
|
|
πk |
)2at |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sh l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
l |
2 |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
i |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
ke |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2πa |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
πk |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin (l −x) |
l |
|
ke |
|
( |
) |
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
l2 |
|
å |
|
|
|
|
|
( 1)ki |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2πa |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
kπ(l −x) |
|
e−( |
πk |
)2at = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
å |
( 1)kk sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
k=0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πa |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
kπx |
e−( |
πk |
)2at ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
å k sin |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
здесь учтено, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin |
kπ l |
|
x |
|
|
= sin kπ − |
kπx |
= (−1)k sin |
kπx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( − |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогичным образом находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
2 |
|
å( |
1)kk sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−( l ) at ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sh |
|
x |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπx |
|
|
πk |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
k=1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
sh l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
www.mitht.ru/e-library