ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.10.2025
Просмотров: 697
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
Найдем. например, изображение функции |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f (t) = (e−at , |
x |
< |
0 |
≡ θ(t)e−at |
, |
|
|
|
(70) |
|
|
|
|
0, |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
где a — комплексное число. Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p) = Z |
f (t)e−pt dt = Z |
e−(p−a)t dt = |
|
1 |
, |
(71) |
||||
|
f |
|||||||||||
|
p |
a |
||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
− |
|
|||
если Re(p − a) > 0 или Re p > Re a (т.е. правее прямой p = Re a на комплексной плоскости). Итак,
θ(t)e−at + |
1 |
, Re p > Re a. |
(72) |
|
|||
|
p −a |
|
|
Роль множителя θ(t) в выражении (70) состоит в том, что он “гасит” (т.е. обращает в нуль) функцию при t < 0 . Вообще, если функция f (t) не равна нулю при t < 0 и, следовательно, не является оригиналом, то функция θ(t) f (t) , “погашенная” при t < 0 , уже будет оригиналом. Обычно принято считать, что все функции, которые рассматриваются как оригиналы, снабжены этим множителем θ(t) , хотя сам этот множитель в написании часто опускается. Так, например, мы можем писать tn , e−at , sin wt и т.д., подразумевая при этом соответственно θ(t)tn , θ(t)3−at , θ(t) sin wt и т.д.
Теорему запаздывания оригинала можно переписать теперь так: Если f (t) + f (p) , то
θ(t −τ) f (t −τ) + e−pτ |
|
(p). |
(73) |
f |
В качестве примера найдем изображение оригинала функции
f (t) = (t −1)2θ(t −1)
www.mitht.ru/e-library
37
Θ(t)
0 |
1 |
t |
Рис. 3.
(рис. 3). Здесь f (t) есть функция tn , но “выключенная” с запаздыванием τ = 1 . Так как t2 + p23 , то по теореме запаздывания имеем
2 |
|
(t −1)2θ(t −1) + p3 e−p. |
(74) |
Если бы мы в записи функции f (t) опустили бы множитель θ(t −1) , то получили бы функцию (t −1)2 , но, как мы условились, такая функция означает оригинал (t −1)2θ(t) без запаздывания. Изображение этого оригинала будет
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|||
(t −1)2θ(t) = (t2 |
−2t + 1)θ(t) + |
|
− |
|
+ |
|
. |
(75) |
p3 |
p2 |
p |
||||||
Таким образом, недопустимо опускать множители вида θ(t −τ) в записи оригинала, ибо это может привести к ошибкам и недоразумениям.
Рассмотрим далее примеры.
1. Найти изображение функции f (t) , представленной на рис. 4. Эта функция есть импульс интенсивности 3, включенный
www.mitht.ru/e-library
38
f(t)
3
0 |
2 |
t |
|
Рис. 4. |
|
в момент времени t = 0 , следовательно, его можно записать как
|
|
f (t) = 3 −3θ(t −2). |
(76) |
||||||
Получаем |
|
|
|
|
1 −e−2p . |
|
|||
|
|
3 |
3 |
3 |
|
||||
|
f (p) = |
|
− |
|
e−2p = |
|
(77) |
||
|
p |
p |
p |
||||||
2. Оригинал f (t) задан на рис. 5.
Его аналитически можно записать так:
f (t) = 2 −2θ(t −1) + 4θ(t −1) −4θ(t −2) + θ(t −2) −θ(t −3) = = 2 + 2θ(t −1) −3θ(t −2) −θ(t −3). (78)
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
3 |
1 |
|
|
||||
|
f (p) = |
|
+ |
|
e−p − |
|
e−2p − |
|
e−3p. |
(79) |
|
|
p |
p |
p |
p |
|||||||
3. Построить график функции
f (t) = (t2 −5t + 11)θ(t −2)
www.mitht.ru/e-library
39
f(t) 4
3
2
1
0 |
1 |
2 |
3 |
t |
Рис. 5.
и найти ее изображение. Эта функция описывает процесс, включаемый с запаздыванием τ = 2 . Для того, чтобы решить, какой это процесс, нужно заданную функцию представить в виде f (t) = ϕ(t −2)θ(t −2) . Сделаем это так:
f (t) = (t2 −6t + 11)θ(t −2) =
=(t −2)2 −4t −4 −6t + 11 θ(t −2) =
=(t −2)2 −2t + 7 θ(t −2) =
=(t −2)2 −2(t −2) + 3 θ(t −2). (80)
Отсюда следует, что f (t) есть процесс ϕ(t) = t2 −2t + 3 , “включаемый” с запаздыванием τ = 2 . На рис. 6 представлены графики функций ϕ(t) и f (t) .
Так как
ϕ(t) = t2 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|||
−2t + 3 + |
|
− |
|
+ |
|
, |
(81) |
|
p3 |
p2 |
p |
||||||
www.mitht.ru/e-library
40
|
ϕ(t) |
f(t) |
|
|
|
0 |
2 |
t |
|
Рис. 6. |
|
то применяя теорему запаздывания, находим
f (t) = ϕ(t −2)θ(t −2) + |
p3 |
− p2 |
+ p |
|
2 |
2 |
3 |
4. На рис. 7 представлен график функции
|
|
0, |
|
t < 0 |
|
|
|||
|
3, |
0 |
≤ |
t |
≤ |
4 |
|||
f (t) = |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
t, 4 < t |
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
2 |
t > 6 |
|
|||||
|
|
0, |
|
|
|
||||
e−2p. (82)
(83)
Требуется с помощью единичной функции Хевисайда записать оригинал одним аналитическим выражением и найти изображение этого оригинала. Имеем f (t) = 0 при t < 0 ; в момент времени
www.mitht.ru/e-library