Файл: 268.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.10.2025

Просмотров: 694

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

32

подставляя найденные оригиналы в (56), получим искомое решение:

T (x,t) =

2πa

∞

 

kπx

×

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

l

2

 

l

 

 

 

 

å k sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×Z

t

 

πk

)2a(t−τ)

 

 

 

 

 

 

e−(

ϕ1

(τ) + (−1)k+1ϕ2

(τ) dτ. (61)

 

 

 

l

 

 

 

0

 

 

 

 

h

 

 

i

Полученное выражение для T (x,t) совпадает с известным решением этой же задачи методом интегральных преобразований по координате.

Операционный метод позволяет получить решение рассмотренной краевой задачи в другой форме, более пригодной для расчета профиля температуры при малых значениях критерия Фурье Fo = atl2 1 , в то время как формула (61) удобна для нахождения T (x,t) при Fo ≥ 1 . Для получения решения (47)–(50) в случае, когда Fo 1 , разложим изображение функции W1(x,t) в ряд:

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

 

 

 

(l −x)

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W1(x,t) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh lqa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

−

 

q

 

 

 

−

 

−

 

−p

q

 

 

 

=

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

exp

(l

 

 

 

x)

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

(l

 

 

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp lqp

 

 

 

−exp −lq

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

− q

 

−

 

−(p

−

 

 

)q

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

2l

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −exp

−2lq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− r

 

a

 

−

 

 

 

 

− −

r

 

a

n=0

 

 

−

r

 

a

 

= exp x

 

 

p

 

exp

 

 

 

 

(2l

 

x)

 

 

p

 

 

 

å exp

2nl

p

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.mitht.ru/e-library

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

ra

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

−

 

ra

 

n=0

 

 

 

−n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= å exp

(2nl + x)

 

 

p

 

 

å exp

 

 

 

(2l(n +

1)

 

 

x)

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Здесь было использовано разложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

= 1 + x + x2 + ... + xn + ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся формулой (см. табл. 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α√

 

 

 

α

 

 

 

α2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e−

 

 

 

 

 

 

 

e−

 

4t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2√πt3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда оригинал W1(x,t) имеет следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

"n=0

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

4at

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W1(x,t) =

1

√πat3

å

(2nl + x) exp

 

(2nl

+ x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

−

 

 

 

 

 

−

 

4at

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å(2nl

 

 

 

x) exp

 

 

(2nl

−x)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2√πat3

"n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

4at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2nl + x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å(2nl + x) exp

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

+

 

 

 

#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2nl

+ x)2

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

+ å (2nl + x) exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n= ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

4at

 

 

 

 

 

 

 

W1(x,t) =

1

√πat3

å

 

(2nl

+ x) exp

 

 

 

 

(2nl + x)

.

 

 

 

 

(62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

Функция W1(x,t) может быть выражена через тэта-функцию Якоби

 

 

 

 

∞

−

2

 

 

 

∞

−

t

2

 

 

√πt n= ∞

t

√πt n= ∞

 

Θ(x,t) =

1

 

å exp

 

(x −n)

=

1

å exp

 

(x + n)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

−

 

 

(63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.mitht.ru/e-library

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

Нетрудно видеть, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ∂

 

x

 

 

at

 

 

W1(x,t) = −

 

 

 

 

Θ

 

,

 

 

.

(64)

l

∂x

2l

l2

Аналогичным образом находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

l ∂x

 

2l

 

 

l2

 

W

(x,t) =

a

 

∂

 

Θ

l −x

,

at

.

(65)

 

 

 

 

 

Таким образом, решение T (x,t) при Fo 1 можно записать с учетом (64), (65) в виде

t

T (x,t) = −a Z l

0

ϕ1(τ)

∂

Θ

 

x

,

 

a

(t −τ)

∂x

2l

 

l2

 

 

a

t

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

Z ϕ2(τ)

Θ

 

+

 

 

 

 

l

∂x

dτ+

 

 

 

 

 

2l

l2

−

 

l −x

,

a

(t

 

τ)

dτ. (66)

 

 

 

0

Это решение удобно для малых значений Fo, так как ряд (62) быстро сходится при малых значениях t . На этом конкретном примере видно большое преимущество операционного метода, который позволяет получить решение одной и той же задачи в двух видах: одно удобной для расчетов при малых значениях Fo, другое — при больших значениях Fo.

www.mitht.ru/e-library

35

7.Изображение разрывных оригиналов

Найдем изображение так называемой функции Хевисайда, которая обозначается θ(t) и определяется равенством (см. также рис. 2)

(

0, x < 0

θ(t) = (67)

1, x ≥ 0.

Θ(t)

1

0

t

Рис. 2.

Пользуясь определением преобразования Лапласа, находим для σ = Re p > 0

∞

∞

 

1

 

 

θ(t) + Z

θ(t)e−pt dt = Z

e−pt dt =

.

(68)

 

p

0

 

 

 

0

 

 

 

 

Итак,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

θ(t) +

,

Re p > 0.

 

 

(69)

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

www.mitht.ru/e-library

Смотрите также файлы