ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.10.2025
Просмотров: 700
Скачиваний: 0
41
f(t)
3
0 |
4 |
6 t |
|
Рис. 7. |
|
t = 0 включается функция, равная 3; в момент t = 4 она выключается и включается функция 9 − 32 t ; в момент времени t = 6 выключается и эта функция. Все это можно записать так:
f (t) = 3θ(t) −3θ(t −4) + 9 − 2t |
θ(t −4) − 9 − |
2t |
= |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||
= 3θ(t) + 6 − |
2t |
|
|
|
2t |
|
|
|
|||
θ(t −4) − 9 − |
θ(t −6). (84) |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Для того, чтобы найти изображение этого оригинала, нужно, рассуждая как и в предыдущем примере, представить его в форме
f (t) = 3θ(t) + ϕ1(t −4)θ(t −4) + ϕ2(t −6)θ(t −6). (85)
Имеем:
f (t) = 3θ(t) + |
6 − |
3 |
(t −4) −6 |
θ(t −4)− |
2 |
www.mitht.ru/e-library
42
|
3 |
(t −6) −9 |
θ(t −6) = |
|
||||||||||||||
− |
9 − |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
= 3θ(t) − |
|
(t −4)θ(t |
− |
4) + |
|
|
(t −6)θ(t −6). |
(86) |
||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||
Так как |
ϕ1(t) = − |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
t + |
− |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
2p2 |
|
|
|
(87) |
||||||||||||
|
ϕ2(t) = |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t + |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2p2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то, применяя теорему запаздывания, находим
3 |
|
3 |
e−4p + |
3 |
e−6p. |
|
f (t) + |
|
− |
|
|
||
p |
2p2 |
2p2 |
||||
5. Найти оригинал по его изображению
f (p) = 1 − 3 e−2p. p2 p2
Имеем:
1 − 3 e−2p + t −3(t −2)θ(t −2). p2 p2
(88)
(89)
(90)
www.mitht.ru/e-library
43
8.Изображение периодических оригиналов
Пусть f (t) — периодический оригинал с периодом T , т.е. |
|
||||||
|
|
|
|
f (t + T ) = f (t) |
|
|
|
для всех t > 0 . Докажем теорему. |
|
|
|||||
|
Теорема. Изображение периодического оригинала f (t) |
с пе- |
|||||
|
|
определяется формулой |
|
|
|||
риодом T |
|
|
|||||
|
|
|
|
(p) = |
ψ(p) |
|
(91) |
|
|
|
f |
, |
|||
|
|
|
1 −e−pT |
||||
где |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
ψ(p) = Z |
f (t)e−pt dt. |
(92) |
|||
0
Доказательство Разобьем промежуток интегрирования [0,∞) на два промежутка и, положив во втором из следующих ниже интегралов t = τ + T , получим ([0,∞) = [0,T ] [T,∞))
|
∞ |
|
T |
∞ |
|
|
|
(p) = Z |
f (t)e−pt dt = Z |
f (t)e−pt dt + Z |
f (t)e−pt dt = |
||
f |
||||||
0 |
∞ |
0 |
T |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
= ψ(p) + Z |
f (τ + T )e−p(τ+T )dτ = ψ(p) + e−pT Z |
f (τ)e−pτdτ = |
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
= ψ(p) + e−pT f (p). (93)
Отсюда получаем
f (p) = ψ(p) + e−pT f (p)
www.mitht.ru/e-library
44
и
ψ(p)
f (p) = 1 −e−pT ,
что и требовалось доказать.
Функция ψ(p) , определяемая формулой (92), является изображением оригинала
( ) = |
( |
0, |
t < 0,t > T. |
(94) |
ψ t |
|
f (t), |
0 ≤ t ≤ T |
|
Можно доказать и обратную теорему: оригинал f (t) , изображение которого имеет вид (91), является периодической функцией с периодом T , которая получается при периодическом продолжении функции ψ(t) с отрезка [0,T ] на всю положительную часть оси t .
Пример. Найти изображение периодического оригинала, имеющего вид f (t) = A |sin wt| (рис. 8).
A
0 |
π/w |
2π/w |
3π/w |
t |
4π/w |
Рис. 8.
Функция f (t) имеет период T = wπ . Дважды интегрируя по частям, находим
www.mitht.ru/e-library
|
|
|
|
|
45 |
||
T |
π/w |
|
|
|
|
||
ψ(p) = Z |
f (t)e−pt dt = A Z |
e−pt sin wtdt = |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
= p2 + w2 |
1 + exp |
−w . |
|||
|
|
|
Aw |
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь было использовано изображение функции sin wt (см. ф. 5 табл. 2). Следовательно,
|
|
Aw 1 |
+ e− pTw |
|
A |
|
pT |
. |
|
|||
f (p) = |
|
|
|
|
= |
|
cth |
|
(95) |
|||
p2 + w2 |
1 |
−e− pTw |
p2 + w2 |
2w |
||||||||
www.mitht.ru/e-library