Файл: Epyury.pdf

группы сил . Произведения, стоящие в знаменателе формулы (2.18),

называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и

сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (2.17) и (2.18)

называются интегралами (или формулами) Мора.

Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:

Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:

1.Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты Z произвольного сечения.

2.По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила – при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент – при вычислении угла поворота).

3.Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.

4.Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (2.18) или

(2.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой

стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (2.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие

61

преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций,

элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие),

например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.

Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (2.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам)

в (2.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм – только четвертый член.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ

Пример 13. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой

(рис.26,а), методом Мора.

Рассмотрим три состояния балки: первое (грузовое) – при действии

заданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментов

M q (рис.26,б). Второе состояние (единичное) – при действии сосредоточенной

силы F 1, приложенной в точке С; ему соответствует эпюра моментов M i

(рис.26,в). Третье состояние (также единичное) – при действии сосредоточенного момента M 1, приложенного в точке В; ему соответствует эпюра моментов M k (рис.26,г). Примем начало координат на левой опоре; тогда ординаты указанных эпюр в сечении с координатой z соответственно равны:

M k (z) 1 Lz .

62

Вычисляем прогиб балки в точке С:

Знак "+" означает, что точка С переместится в направлении действия силы.

F 1.

Вычисляем угол поворота сечения В:

Рис. 26

63

Рассмотрим два состояния балки. Первое состояние (грузовое) – при

соответствуют эпюры изгибающих моментов M i (рис.27,д) и поперечных сил

Q i (рис.27,е).

В связи с отсутствием продольных сил в поперечных сечениях балки

интеграл Мора (2.18) принимает вид:

Подставляя значения изгибающих моментов и поперечных сил в сечении с координатой z (рис.27) для составляющих полного перемещения получим:

Оценим влияние поперечной силы на общую величину прогиба. Пусть рассматриваемая балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и h, при этом h=0,1ℓ.

Тогда площадь сечения и его осевой момент инерции равны:

Будем считать, что 1,2; G 0,4E, тогда:

то есть прогиб, обусловленный деформацией сдвига, составляет 3% от прогиба,

обусловленного изгибом. Легко убедиться, что при увеличении отношения h L

65