Файл: Epyury.pdf

2.3 ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии.

В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.23,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F1 и F2

через ij , где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” –

вызвавшую его причину.

Рис. 23

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) на перемещениях первого состояния через А11, а работу силы F2 на вызванных ею перемещениях – А22:

56

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) в

такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F1

составит:

A F1 11

11 2

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F2

(рис.23,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F2 от нуля до ее конечного значения сила F1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба 12 и, следовательно, совершает дополнительную работу:

A12 F1 12

Сила F2 при этом совершает работу:

A F2 22 22 2

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F1, F2

равна:

57

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz,

вызванную силами второго состояния.

2.4 ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила F1 1, а во втором -

F2 1 (рис.24). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или

58

Рис. 24

Полученное равенство (2.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы,

вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

2.5 ВЫЧИСЛЕНИЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРА

Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

59

Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором

(единичное состояние) – сосредоточенная сила F 2 1(рис.25).

Работа А21 силы F 2 1 на перемещении 21 , возникающем от сил первого состояния:

A21 F 2 21 1 21 21 .

Рис.25

Используя (2.14) и (2.15), выразим А21 (а, значит, и 21 ) через внутренние силовые факторы:

Знак “+”, полученный при определении 21 , означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила – это безразмерный сосредоточенный единичный момент.

Иногда (2.17) записывается в виде:

60