Однако у данного подхода есть существенный недостаток. При расчетах по схеме Эйлера требуется вычислять только значения функции . В схеме же на каждом шаге приходится вычислять не только функцию, но и ее первые производныеи. Если мы, оставив в разложении члены довключительно, построим схему четвертого порядка точности, то на каждом шаге придется вычислять десять величин: функцию, две ее первых производных, три вторых производных и четыре третьих производных. Это существенно усложнит разработку программы и нарушит важный принцип вычислительной математики – использовать в расчетах только те величины, которые задаются условиями задачи. Формулировка задачи Коши предполагает, что известен алгоритм вычисления функциипо значениям ее аргументов. Если этот алгоритм сводится к расчету по простой формуле, то вычисление производных не составляет труда. Однако возможны и такие варианты представления алгоритма, при которых вычисление производных функциилибо очень сложно, либо практически невозможно. Поэтому при разработке разностных схем высокого порядка точности стремятся заменить вычисление производных функциивычислением самой функции в нескольких точках. В следующих разделах мы рассмотрим, как это удается сделать.

3. Метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим правую часть разностного уравнения , содержащую первые производные от функции. Главная идея метода Рунге-Кутта состоит в том, чтобы приближенно заменить ее на сумму значений функциив двух разных точках с точностью до членов порядка. С этой целью положим:

---

где ,,,- четыре свободных параметра, которые нужно подобрать так, чтобы правая часть равнялась левой с нужной степенью точности.

Разложим функцию по степеням:

,

подставим разложение в формулу и приравняем слева и справа члены, не содержащие и содержащиев первой степени. В результате получим для четырех параметров три уравнения

,,.

Они позволяют выразить параметры ,,через:

,,.

Заменяя с помощью левую часть уравнения и отбрасывая члены порядка , получим однопараметрическое семейство разностных схем Рунге-Кутта:

.

Уравнение , как и , можно записать в виде удобного для расчетов рекуррентного соотношения

.

Наиболее удобные разностные схемы этого семейства соответствуют двум значениям параметра :и. Прирекуррентная формула принимает вид

---

.

Она определяет следующую процедуру расчета . Сначала делается шагпо схеме Эйлера и вычисляется величина

.

Затем находится значение функции в точке, составляется полусумма

и проводится окончательный расчет величины

.

Такая схема вычислений называется «предиктор-корректор» или буквально «предсказание-исправление». Вычисление по схеме Эйлера – это грубое предсказание результата. Вторичный расчет , сделанный на основании первого, является уточнением результата, его коррекцией.

При рекуррентная формула имеет вид

.

Здесь схема расчета заключается в следующем. Сначала делается половинный шаг : по схеме Эйлера вычисляется величина

.

Затем находится значение функции в точке. Оно определяет по формуле очередное значение.

Следует заметить, что процедура расчета приближенного решения задачи Коши , по схеме по сравнению со схемой Эйлера усложняется: теперь на каждом шаге функцию приходится считать не один, а два раза. Однако такое усложнение оказывается оправданным благодаря более высокой точности метода. К исследованию проблемы точности мы теперь и переходим.

Введем, как и в предыдущем разделе, две сеточные функции: погрешность решения и погрешность аппроксимации уравнения. В рассматриваемом случае она определяется формулой

---

.

Выразим по формуле черезии подставим в разностное уравнение . В результате получим

.

Формулу можно переписать в виде

Здесь мы перенесли член слева направо и в каждое из двух выражений, собранных в фигурных скобках, добавили одно и то же слагаемое. Поскольку между фигурными скобками стоит знак минус, значение правой части формулы в целом при этом не меняется. Однако благодаря таким преобразованиям мы собрали во вторых фигурных скобках члены, которые дают погрешность аппроксимации дифференциального уравнения.

Перейдем к дальнейшему исследованию соотношения . Рассмотрим функцию

.

Выражение, стоящее в первых фигурных скобках формулы , можно записать как разность значений этой функции при ии преобразовать эту разность с помощью формулы конечных приращений Лагранжа

, ,

где

.

Подставим полученные выражения для отдельных слагаемых в формулу . В результате она примет вид рекуррентной формулы

, ,

которую нужно дополнить нулевым начальным условием . Использовать эту формулу для последовательного вычисления значений сеточной функции нельзя: в ее правую часть входят неизвестные аргументы:,,. Однако эту систему рекуррентных равенств можно заменить системой рекуррентных неравенств для последующей оценки.

---

Предположим, как и при исследовании метода Эйлера, что частная производная в интересующей нас области изменения ее аргументов ограничена . Тогда с учетом формулы для производнойполучим

, .

С учетом этого рекуррентные равенства можно заменить рекуррентными неравенствами

,

которые полностью совпадают с неравенствами предыдущего раздела. Мы уже знаем, что из них следует оценка нормы погрешности решения через норму погрешности аппроксимации уравнения

.

Теперь нужно оценить норму погрешности аппроксимации уравнения . Предположим, что функция имеет в интересующей нас области изменения своих аргументов непрерывные вторые производные и, следовательно, решение дифференциального уравнениятрижды непрерывно дифференцируемо. Это позволяет написать следующие разложения Тейлора

,

где

, ,,

, .

Здесь последние слагаемые в обоих разложениях представляют собой остаточные члены в форме Лагранжа, которые берутся в неизвестных нам промежуточных точках.

Подставим разложения , в формулу для погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и примем во внимание соотношения, вытекающие из этого уравнения

Благодаря члены нулевого и первого порядков относительно сокращаются и остаются только члены второго порядка, обязанные своим происхождением остаточным членам в разложениях , . В результате получается следующее представление для погрешности аппроксимации уравнения

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc