ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.02.2019
Просмотров: 6188
Скачиваний: 1
Модель ферми-газа
Нуклоны заполняют все состояния в ямах
вплоть до уровня максимальной кинетической
энергии, которая равна энергии Ферми
E
f
.
Уравнение Шредингера имеет вид:
2
2
2
2
0
d
m
E
dx
(0)
( )
0
L
ψ(х) = A sin(кх) →
2
2
2
k
E
m
Из условия
ψ(L) = 0
следует, что
sin kL = 0
, т. е.
kL = Nπ,
2
2
2
2
;
1, 2,..
2
2
.
E
N
Lp
N
N
mL
В трех-мерном пространстве:
3
3
3
3
(2
)
h
dV
d x d p
( ) 2
( ) 2
( )
( )
(
)
(
)
;
2
2
n
p
f
f
n
p
f
f
p
p
E
E
m
m
d
3
p = dp
x
dp
y
dp
z
в сферической системе координат можно записать в виде
d
3
p = р
2
·sinθ·dp·dφ·dθ .
Если ориентация вектора
p
не существенна, то интегрирование по углам дает
d
3
p = 4πp
2
dp.
среднее число одночастичных состояний
n
или
p
(
d
3
n = dn
x
dn
y
dn
z
)
в элементе
импульсного пространства
d
3
p
дается выражением
2
3
2
3
3
0,
1,
2·4
(8
/
)
;
,
2,
3,..
,
2
.
x
y
z
n
n
n
Vp
d n
dp
Vp
dp
целые числа равные
Модель ферми-газа
Полное число нейтронов и протонов в ядре может быть представлено в виде
( )
( )
2
2
3
3
0
0
(4
)
(4
)
2
;
2
;
(2
)
(2
)
n
p
f
f
p
p
V
V
N
p dp Z
p dp
1/3
1/3
2
3
2
3
( )
( )
3
3
;
n
p
f
f
N
Z
p
p
V
V
Предполагая
V = (
4
/
3
)πR
3
, где
R = r
0
A
1/3
-
радиус ядра и считая, что ядро
симметрично по нейтронам и протонам (
N = Z =A/2)
,
1/3
( )
( )
22
0
9
8.1·10
· /
8
n
p
f
f
f
p
p
p
МэВ с Фм
r
2
( )
( )
32
2
f
n
p
f
f
f
p
E
E
E
МэВ
m
Т.к. средняя энергия связи нуклона в ядре
~8 МэВ,
т.е.
V
0
≈ 32 + 8 = 40 МэВ.
Полная энергия:
( )
( )
2
2
2
2
( )
( )
3
0
0
4
3
2
(
)
(2
)
2
2
5
n
p
f
f
p
p
n
p
полн
f
f
М
p
p
E
p dp
p dp
NE
ZE
m
m
3
/
20
5
полн
f
полн
E
AE
E
E
A
МэВ
Оболочечная модель
Основная задача при построении оболочечной модели ядра состоит в объяснении
магических чисел.
В модели независимых нуклонов предполагается, что нуклоны движутся, не
взаимодействуя друг с другом, в заданном потенциале ядра.
• Атом: силовой центр, в поле которого находятся слабовзаимодействующие
электроны. Заполнение уровней исходя из принципа Паули
• В ядре нет силового центра, нуклоны сильно взаимодействуют:
Магические числа (большая устойчивость ядер по сравнению с
близлежащими по массе ядрами) указывает на существование в ядре
внутренних замкнутых оболочек (
Бартлет (1932 г.) и Эльзассер (1933 г.).
).
14
0
24
2
38
2
1
1
3 10
0.3
0.3 10
[
] 10 [
/
]
см
Фм r
n
см
нукл см
Прямоугольная яма.
Гармонический осциллятор
Потенциал, повторяющий форму распределения плотности
нуклонов в ядре.
Общий потенциал – суперпозиция потенциалов нуклонов
Оболочечная модель
Нуклоны в потенциальной яме заполняют уровни согласно принципа Паули,
начиная с нижнего. Такое заполнение – основное состояние.
При взаимодействии – перераспределение энергии. Получивший порцию энергии
должен опустится на нижний уровень, но он занят. Нуклоны ведут себя как
независимые частицы.
Вид потенциала определяет собственные значения волновой функции при
решении уравнения Шредингера. Общее: ширина –
2R
;
ядро «сферически»
симметричное (нуклоны находятся в сферически симметричной потенциальной
яме ).
Кулоновским взаимодействием пренебрегаем.
( )
( )
V r
V r
1.
Прямоугольная яма с бесконечно высокими стенками.
2.
Потенциал rармоническоro осциллятора (М - масса
нуклона)
3.
Потенциал Вудса-Саксона
2 2
0
1
( )
2
V r
V
M
r
0
;
( )
0
;
V для r
a
V r
для r a
(
)/
0
( )
(1
)
r R
V r
V
e
V
0
=20-30
МэВ (
A<40
); V
0
=30-40
МэВ (
A=40-100
)
;
Оболочечная модель
( )
( , )
nlm
nl
lm
R r Y
2
0
0
1
1
ˆ
;
( )
2
A
A
p
H
E
где H
h
V r
M
0
H
-
гамильтониан ядра:
Уравнение Шредингера для отдельного нуклона
( )
( );
i
i
i
i
i
одинаков для всех нук
h
r
r
h
h
лонов
Волновая функция нуклона, описывающая его орбитальное движение, имеет вид:
l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
s p d f g h I j
Уровень определяется гл. кв. чиcлом
n
, которому соответствуют
2l+1
ориентации
вектора и 2 ориентации . Т.е. на каждом энергетическом уровне →
нуклонов данного типа (
n
или
p
).
l
s
1s
1p
2s
1d
1f
2p
1g
2d
3s
1h
2f
3p
l
0
1
0
2
3
2
4
2
0
5
3
1
N=2(2l+1)
2
6
2
10
14
6
18
10
2
22
14
6
∑N
2
8
10
20
34
40
58
68
70
92
106
112
2
8
20
40
70
112
Для гарм. осциллятора:
Гармонический осциллятор: вырождение по
l
,
уровни эквидистантные
2
1/3
0
2
2
47
V
A
МэВ
MR