Файл: Electron_SE.pdf

171

ÐÎÇIJˠ6

ËÎò×Ͳ ÅËÅÌÅÍÒÈ

6.1. Àëãåáðà ëîã³êè

Îñíîâó ñó÷àñíèõ ïðèñòðî¿â îáðîáêè ³íôîðìàö³¿ ñêëàäàþòü öèôðîâ³

(ëîã³÷í³)  ²ÌÑ.

Àíàë³ç ðîáîòè öèôðîâèõ ïðèñòðî¿â áàçóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ àïàðà-

òó ìàòåìàòè÷íî¿ ëîã³ê蠖 àëãåáðè Äæîðäæà Áóëÿ (1815 – 1864). Â

¿¿ îñíîâ³ ëåæèòü ïîíÿòòÿ ïî䳿, ùî îö³íþºòüñÿ ç òî÷êè çîðó ¿¿ íàñòàííÿ:

âîíà ìîæå íàñòàòè àáî íå íàñòàòè.

Òîä³ êîæíó ïîä³þ ìîæíà ââàæàòè ³ñòèííîþ, ùî ìîæå ìîäåëþâàòèñÿ

îäèíèöåþ «1» (âèñîêèì ð³âíåì íàïðóãè ïðè åëåêòðè÷íîìó ìîäåëþâàíí³),

àáî õèáíîþ – ìîäåëþºòüñÿ íóëåì «0» (íèçüêèì ð³âíåì íàïðóãè).

Îáðîáêà ³íôîðìàö³¿, ïîäàíî¿ ó âèãëÿä³ ïîä³é, âåäåòüñÿ ó äâ³éêîâ³é

ñèñòåì³ ÷èñëåííÿ. Âîíà ìຠò³ëüêè äâ³ öèôðè: 0 ³ 1.

Âåëè÷èíà, êîòðà ìîæå ïðèéìàòè ò³ëüêè ö³ äâà çíà÷åííÿ, íàçèâàºòüñÿ

äâ³éêîâîþ  (ëîã³÷íîþ)  çì³ííîþ.

Ñêëàäíà ïîä³ÿ, ùî çàëåæèòü â³ä äåê³ëüêîõ äâ³éêîâèõ çì³ííèõ, íàçè-

âàºòüñÿ äâ³éêîâîþ  (ëîã³÷íîþ,  ïåðåìèêàëüíîþ)  ôóíêö³ºþ:

y = f (õ

1

, õ

2

, ... , õ

n 

), äå õ = {1,0}.

(6.1)

Àëãåáðà ëîã³êè äîçâîëÿº âèêîíóâàòè ìàòåìàòè÷íèé çàïèñ ëîã³÷íèõ

ïîä³é ³ çâ’ÿçê³â ì³æ íèìè, à öå äຠìîæëèâ³ñòü àíàë³òè÷íî îïèñóâàòè

áóäîâó ³ ðîáîòó öèôðîâèõ ïðèñòðî¿â (íàãàäàºìî: öèôðîâ³ ïðèñòðî¿ îá-

ðîáëþþòü ³íôîðìàö³þ, ïðåäñòàâëåíó ó âèãëÿä³ ñèãíàë³â, ùî çì³íþþòüñÿ

çà çàêîíîì äèñêðåòíî¿ ôóíêö³¿ – äèâ. ïï. 2.7.4).

 àëãåáð³ ëîã³êè º òðè îñíîâíèõ ëîã³÷íèõ ä³¿ (îïåðàö³¿, ôóíêö³¿):

l

îïåðàö³ÿ  Í²  –  ëîã³÷íå  çàïåðå÷åííÿ:

ôóíêö³ÿ ìຠçâîðîòíå çíà÷åííÿ äî çì³ííî¿, â³ä ÿêî¿ âîíà çàëåæèòü

x

y =

(6.2)

(÷èòàºòüñÿ y äîð³âíþº íå x);

l

îïåðàö³ÿ ÀÁΠ– ëîã³÷íå äîäàâàííÿ (äèç’þíêö³ÿ):

ôóíêö³ÿ ³ñòèííà, ÿêùî ³ñòèííà õî÷à á îäíà ç íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, ùî

äî íå¿ âõîäÿòü

 y =

x

1 

+

x

2

;

(6.3)

172

ÅËÅÊÒÐÎͲÊÀ ² Ì²ÊÐÎÑÕÅÌÎÒÅÕͲÊÀ

l

îïåðàö³ÿ ² – ëîã³÷íå ìíîæåííÿ (êîí’þíêö³ÿ):

ôóíêö³ÿ ³ñòèííà, ÿêùî ³ñòèíí³ óñ³ íåçàëåæí³ çì³íí³, ùî äî íå¿ âõîäÿòü

y =

x

1 

·

x

2

.

(6.4)

Çâåðí³òü óâàãó: â àëãåáð³ ëîã³êè íåìຠîïåðàö³é â³äí³ìàííÿ ³ ä³ëåííÿ.

Ïîðÿäîê ä³é â àëãåáð³ ëîã³êè òàêèé: ïåðø çà âñå âèêîíóºòüñÿ îïåðà-

ö³ÿ Í², ïîò³ì ² é íàñàìê³íåöü ÀÁÎ.

Äëÿ çì³íè ïîðÿäêó ä³é, ÿê ³ â çâè÷àéí³é àëãåáð³, çàñòîñîâóþòü äóæêè.

Äëÿ àëãåáðè ëîã³êè ñïðàâåäëèâ³ çàêîíè:

l

ïåðåñòàâíèé  (êîìóòàòèâíèé)

x

1

+ x

2

= x

2

+ x

1

 òà x

1 

· x

2

= x

2 

· x

1

;

(6.5)

l

ñïîëó÷íèé (àñîö³àòèâíèé)

x

1

+  x

2

+x

3

=  x

1

+  (x

2

+x

3

)=  (x

1

+  x

2

)+x

3

òà

x

1

 · x

2

 · x

3

= x

1

(x

2

 · x

3

)= (x

1

 · x

2

) x

3

;

(6.6)

l

ðîçïîä³ëüíèé (äèñòðèáóòèâíèé)

x

1

(x

2

+x

3

)= x

1

 · x

2

+ x

1 

· x

3

.

(6.7)

(çàçíà÷èìî, ùî òàê³ æ çàêîíè ä³þòü ³ â çâè÷àéí³é àëãåáð³).

Òîòîæíîñò³  àëãåáðè  ëîã³êè:

x

+ x

= x òà x

· x

= x;

(6.8)

1

=

+ x

x

 òà 

;

0

=

⋅ x

x

(6.9)

x + 0

= x òà x

· 0

= 0;

(6.10)

;

x

x =

(6.11)

x

1

+ x

1 

· x

2 

+

x

1 

· x

3 

= x

1

;

(6.12)

;

2

1

2

1

1

x

x

x

x

x

+

=

⋅

+

(6.13)

;

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

=

⋅

+

⋅

(6.14)

;

)

(

1

2

1

1

x

x

x

x

=

+

(6.15)

;

)

(

2

1

2

1

1

x

x

x

x

x

⋅

=

+

(6.16)

(x

1

+x

2

)(x

1

+x

3

)=  x

1 

+

x

2 

·

x

3

.

(6.17)

Äî îñíîâíèõ çàêîí³â àëãåáðè ëîã³êè òàêîæ â³äíîñÿòüñÿ çàêîíè ³íâåð-

ñ³¿ äëÿ ëîã³÷íèõ äîäàâàííÿ òà ìíîæåííÿ – ïðàâèëà äå Ìîðãàíà:

2

1

2

1

x

x

x

x

⋅

=

+

òà 

.

2

1

2

1

x

x

x

x

+

=

⋅

(6.18)

173

6. ËÎò×Ͳ ÅËÅÌÅÍÒÈ

Ö³ çàêîíè ãðàþòü âàæëèâó ðîëü ïðè ñèíòåç³ ñõåì öèôðîâèõ ïðèñòðî¿â,

÷àñòî ïðèçâîäÿ÷è äî ñóòòºâîãî ñïðîùåííÿ ëîã³÷íèõ ôóíêö³é, à çíà÷èòü

³ ñõåì ïðèñòðî¿â, ùî ¿õ ðåàë³çóþòü.

Âçàãàë³, çíàííÿ çàêîí³â àëãåáðè ëîã³êè äîçâîëÿº îòðèìóâàòè îïòè-

ìàëüíó çà çàäàíèìè êðèòåð³ÿìè ñõåìó ïðèñòðîþ, ùî çàáåçïå÷óº âèêî-

ðèñòàííÿ ì³í³ìàëüíîãî ÷èñëà óí³ô³êîâàíèõ åëåìåíò³â, âèñîêó øâèäêî-

ä³þ òà íàä³éí³ñòü.

Çàçíà÷èìî, ùî ó ïðàêòè÷íèõ ö³ëÿõ àëãåáðó Áóëÿ ïåðøèì ó 1938 ðîö³

çàñòîñóâàâ îäèí ³ç ðîäîíà÷àëüíèê³â ìàòåìàòè÷íî¿ òåî𳿠³íôîðìàö³¿ ³

ê³áåðíåòèêè Êëîä Øåííîí (ÑØÀ) ïðè äîñë³äæåíí³ åëåêòðè÷íèõ ê³ë ç

êîíòàêòíèìè ïåðåìèêà÷àìè.

6.2. Ðåàë³çàö³ÿ ïðîñòèõ ëîã³÷íèõ ôóíêö³é.

Ëîã³÷í³ åëåìåíòè

Ïðàêòè÷íà ðåàë³çàö³ÿ àíàë³òè÷íîãî îïèñó ïîä³é àëãåáðè ëîã³êè âèêî-

íóºòüñÿ ó âèãëÿä³ ëîã³÷íèõ ñõåì, ùî áóäóþòüñÿ ç ëîã³÷íèõ åëåìåíò³â

ÿê ëîã³÷í³ (öèôðîâ³) àâòîìàòè. Ïðè öüîìó ïðîåêòóâàëüíèêà, çàçâè-

÷àé, íå ö³êàâèòü âíóòð³øíÿ áóäîâà ëîã³÷íèõ åëåìåíò³â. Âîíè ðîçãëÿäà-

þòüñÿ ÿê ôóíêö³îíàëüí³ âóçëè îáðîáêè öèôðîâî¿ ³íôîðìàö³¿.

Îòæå, îäí³ºþ ç íàéïðîñò³øèõ ëîã³÷íèõ ôóíêö³é º ôóíêö³ÿ çàïåðå÷åí-

íÿ Í², ÿêó ùå íàçèâàþòü îïåðàö³ºþ ³íâåðñ³¿.

Ãðàô³÷íå ïîçíà÷åííÿ ëîã³÷íîãî ³íâåðòîðà íàâåäåíå íà ðèñ. 6.1. Ó ÿêîñò³

òàêîãî åëåìåíòà ìîæå áóòè âèêîðèñòàíî, íàïðèêëàä,

òðàíçèñòîðíèé êëþ÷ – ï³äñèëþâà÷ ç ÑÅ, ùî ïðàöþº ó

êëþ÷îâîìó ðåæèì³: ïðè âèñîêîìó ð³âí³ íàïðóãè íà

éîãî âõîä³ íà âèõîä³ ìàòèìåìî íèçüêèé ³ íàâïàêè.

Ôóíêö³þ, ùî ¿¿ âèêîíóº ëîã³÷íèé ïðèñòð³é, äëÿ ïî-

ëåãøåííÿ ñïðèéíÿòòÿ ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþòü ó âèãëÿä³ òàáëèö³, ÿêó íà-

çèâàþòü òàáëèöåþ ³ñòèííîñò³. Ê³ëüê³ñòü ñòîâáö³â ö³º¿ òàáëèö³ äîð³â-

íþº ÷èñëó çì³ííèõ, ùî âõîäÿòü äî ôóíêö³¿ ³ º ùå îäèí ñòîâáåöü, ó ÿêîìó

âêàçóþòü çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ äëÿ êîæíî¿ ç ìîæëèâèõ êîìá³íàö³é âõ³äíèõ

çì³ííèõ, à ¿õíüîìó ÷èñëó â³äïîâ³äຠê³ëüê³ñòü ðÿäê³â òàáëèö³. Ó çàãàëü-

íîìó âèïàäêó ê³ëüê³ñòü ðÿäê³â äîð³âíþº 2

n

, äå n – ÷èñëî çì³ííèõ.

Îᒺäíàíà òàáëèöÿ ³ñòèííîñò³ äåÿêèõ îñíîâíèõ ëîã³÷íèõ ôóíêö³é,

ùî çàëåæàòü â³ä äâîõ çì³ííèõ (óñüîãî òàêèõ ôóíêö³é ø³ñòíàäöÿòü),

õ

_

õ

ó =

1

Ðèñ. 6.1 –

Åëåìåíò Í²

174

ÅËÅÊÒÐÎͲÊÀ ² Ì²ÊÐÎÑÕÅÌÎÒÅÕͲÊÀ

Ðèñ. 

6.2 

– 

Äåÿê³ 

ëîã³÷í³ 

ôóíêö³¿ 

äâîõ 

çì³ííèõ

Âõ³

äí

³   ç

ì³

íí³

Ô

óí

êö³

ÿ 

 ó

õ

1

õ

2

À

ÁÎ

À

ÁÎ

-Í

²

²

²-Í

²

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

Ìà

òå

ìà

òè

÷íè

é

çà

ïè

ñ 

(ô

îðì

óë

à)

2

1

2

1

õ
õ
õ
õ
y

∨
=
+
=

2

1

õ
õ
y

+
=

2

1

2

1

õ
õ
õ

õ
y

∧
=
⋅
=

2

1

õ
õ
y

⋅
=

Íà

çâ

à 

ô

óí

êö³

¿

Ë

îã³÷

íå äîäàâ

àí

íÿ

(äèç

’þíêö

³ÿ

) –

ôó

íêö³ÿ   À

ÁÎ

Çà

ïå

ðå

֌

ííÿ

 ëîã³

÷-

íîãî äîäà

âà

ííÿ

(ñò

ð³

ëêà 

Ï

³ð

ñà

) –

ôó

íêö³

ÿ À

ÁÎ

-Ͳ

Ë

îã³÷

íå 

ìí

îæ

åí

íÿ

(êîí’þí

êö

³ÿ

) –

ôó

íêö³

ÿ  ²

Çàï

åðå÷

åííÿ

 ëî

ã³

÷íîãî

ìí

îæ

åí

íÿ

 (ø

òðè

õ

Ø

åôôå

ðà

) – ô

óí

êö

³ÿ

 ²-

Í

²

Ãðà

ô

³÷

íå

 ïîç

íà-

÷åí

íÿ

 å

ëåì

åí

òà

,

ùî

 ðåà

ë³ç

óº

ôó

íêö³

þ

õ

1

1

õ

2

ó

õ

1

1

õ

2

ó

õ

1

&

õ

2

ó

õ

1

&

õ

2

ó

Ìîæ

ëèâ

à

ðåà

ë³

çà

ö³

ÿ

ó

õ

1

õ

2

Ðåçèñ

òîðíî-

ä³

îäí

à

ëîã³ê

à  

(Ð

Ä

Ë

)

+

Å

õ

2

õ

1

Ðåçèñ

òîðíî-

òð

àí-

çèñ

òîðí

à

 ëîã³ê

à  

(Ð

ÒË

)

ó

õ

1

õ

2

+

Å

ó

Ðåçèñ

òîðíî-

ä³

îäí

à

ëîã³ê

à (Ð

Ä

Ë

)

õ

1

õ

2

ó

Ðåçèñ

òîðíî-

ä³

îäíî-

òð

àí-

çèñ

òîðí

à ë

îã

³ê

à  

(Ð

Ä

ÒË

)

+

Å

íàâåäåíà  íà  ðèñ.  6.2.  Íà  ðèñóíêó  òàêîæ  ïðåäñòàâëåíî  ³íôîðìàö³þ

ïðî ìàòåìàòè÷íèé çàïèñ ôóíêö³é, ¿õí³ íàçâè, ãðàô³÷íå ïîçíà÷åííÿ, ìîæ-

ëèâó ðåàë³çàö³þ.

175

6. ËÎò×Ͳ ÅËÅÌÅÍÒÈ

Ç òàáëèö³ âèäíî, ùî, íàïðèêëàä,

ôóíêö³ÿ ÀÁΠ³ñòèííà (äîð³âíþº

1), ÿêùî ³ñòèííîþ º õî÷à á îäíà ³ç

çì³ííèõ, ùî äî íå¿ âõîäÿòü, à ôóí-

êö³ÿ ² – ò³ëüêè ó âèïàäêó ³ñòèí-

íîñò³ îáîõ çì³ííèõ.

ßêùî  âõ³äí³  ñèãíàëè  çì³íþ-

âàòè ç ÷àñîì, ÿê öå ïîêàçàíî íà

ðèñ. 6.3, ìîæíà îòðèìàòè ÷àñîâ³

ä³àãðàìè, ùî â³äïîâ³äàþòü äèíà-

ì³÷íîìó ðåæèìó ðîáîòè ëîã³÷-

íèõ åëåìåíò³â.

Ó  çàãàëüíîìó  âèïàäêó  ê³ëü-

ê³ñòü âõ³äíèõ çì³ííèõ (ê³ëüê³ñòü

âõîä³â) ëîã³÷íèõ åëåìåíò³â, íåîá-

õ³äíèõ  äëÿ  ðåàë³çàö³¿  ñêëàäíèõ

ëîã³÷íèõ  ôóíêö³é,  ìîæå  áóòè

áóäü-ÿêîþ. Ðåàëüíî ó åëåìåíò³â,

ùî âèïóñêàþòüñÿ ó âèãëÿä³ ²ÌÑ,

âîíà, ÿê ïðàâèëî, ñêëàäຠ2 (÷îòèðè åëå-

ìåíòè â îäíîìó êîðïóñ³ ²ÌÑ, ùî ìàþòü

ñï³ëüí³ êîëà æèâëåííÿ), 3 (òðè åëåìåí-

òè), 4 (äâà åëåìåíòè), 8 (îäèí åëåìåíò).

×àñò³øå öå åëåìåíòè ²-Ͳ, ÀÁÎ-Ͳ.

Çà åëåìåíòíîþ áàçîþ, íà ÿê³é âèêî-

íàíî ëîã³÷í³ åëåìåíòè, ¿õ ï³äðîçä³ëÿþòü

íà ðåçèñòîðíî-ä³îäí³ (ÐÄ˖ðåçèñòîð-

íî-ä³îäíà ëîã³êà), ðåçèñòîðíî-òðàíçèñ-

òîðí³ (ÐÒË), ðåçèñòîðíî-ä³îäíî-òðàíçè-

ñòîðí³ (ÐÄÒË), òðàíçèñòîðíî-òðàíçèñ-

òîðí³ (ÒÒË), íà Ê-ÌÎÍ êîìïëåìåíòàð-

íèõ  òðàíçèñòîðàõ  (Ê-ÌÎÍ-ëîã³êà)  ³

äåÿê³ ³íø³.

Ñõåìè äâîâõîäîâèõ ðåçèñòîðíî-ä³îä-

íèõ åëåìåíò³â 2ÀÁΠòà 2² íàâåäåí³ íà

ðèñ 6.4,à ³ ðèñ. 6.4,á â³äïîâ³äíî.

è

õ1

è

õ2

è

ó

ÀÁÎ

ÀÁÎ-

Ͳ

²

²-Ͳ

t

t

t

t

t

t

è

ó

è

ó

è

ó

Ðèñ. 6.3 – ×àñîâ³ ä³àãðàìè ðîáîòè

äåÿêèõ äâîâõîäîâèõ ëîã³÷íèõ åëåìåíò³â

Ðèñ. 6.4 – Ðåçèñòîðíî-ä³îäí³

åëåìåíòè 2ÀÁΠ(à) òà 2² (á)

2

1

x

x

y

∨

=

õ

1

õ

2

+E

õ

1

õ

2

2

1

x

x

y

⋅

=

à)

á)