Кафедра электротехники и электрических машин

Лекция № 31

по дисциплине «Теоретические основы электротехники, ч.3»

для студентов направления подготовки:

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Тема № 11. Электростатическое поле.

Краснодар 2015 г.

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

1. ОПК-2: cпособность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач;

2. ОПК-3: Способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей.

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ТОЭ, тема 11».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

1. Электростатическое поле, его уравнения, граничные условия. Безвихревой характер поля. Потенциал и градиент потенциала (напряженность), их определение с помощью теоремы Гаусса для системы заряженных тел. Принцип суперпозиции.

2. Уравнения Лапласа и Пуассона и примеры их решения. Расчет электростатического поля длинного заряженного цилиндра из диэлектрического материала. Расчет электростатического поля двух заряженных проводов и емкости.

3. Метод зеркальных изображений. Фиктивный заряд. Связанные заряды.

4. Связь между потенциалами и зарядами в системе заряженных тел. Поле и емкость двухпроводной и трехпроводной линии электропередачи с учетом влияния земли. Группы формул Максвелла. Потенциальные, емкостные коэффициенты и частичные емкости.

Заключение.

Литература

1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бессонов. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 317 с.

---

1. Безвихревой характер электростатического поля

Если в электрическое поле с напряженностью Е внести точечный заряд q, то под действием силы поля (1-3) заряд начнет перемещаться. Работа, совершенная силами поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2,

Электростатическое поле обладает весьма важным свойством — работа сил поля вдоль замкнутой кривой равна нулю. Чтобы доказать пра­вильность высказанного положения, достаточно показать, что циркуляция вектора Е (линейный интеграл по замкнутой кривой) равна нулю:

В случае точечного заряда, подставив значение Е из формулы ,получим:

Так как вдоль замкнутой кривой L равен нулю (подынтегральное выражение является полным дифференциалом), то циркуляция вектора Е равна нулю.

Так как точка R = 0 является особой точкой поля, то при выборе контура интегрирования L ее необходимо обойти.

Предположим, что электростатическое поле возбуждается не точечным, а произвольно распределенным зарядом. Если разбить этот заряд на бесконечно малые элементы dq, то каждый такой элементарный заряд можно считать точеч­ным. Для такого заряда вектор напряженности электрического поля будет определяться по формуле :

Результирующая напряженность электростатического поля Е, созданного всеми элементарными зарядами dq, может быть получена геометрическим суммированием векторов dE.

Так как циркуляция каждого вектора dE равна нулю, то и циркуляция результирующего вектора Е равна нулю:

Пользуясь теоремой Стокса, можно преобразовать циркуляцию

Так как циркуляция вектора напряженности- электрического поля равна нулю, то и ротор его равен нулю:

Соотношение выражает основное свойство электростатического поля — оно безвихревое.

Электрический потенциал

Так как электрическое поло безвихревое (rot Е = 0), то можно найти такую скалярную функцию φ, градиент кото­рой, взятый со знаком плюс или минус, равен вектору напряженности поля E:

В теории поля выбирают знак минус, который указывает на то, что напряженность поля направлена в сторону убывания φ. Скалярная функции φ называется потенциальной функцией или просто потенциалом.

Приращение потенциала между двумя бесконечно близкими точками поля равно dφ = —Е dl. Если точки находятся на линии вектора Е, то dφ = —Е dn, где dn — расстояние между выбранными точками.

Потенциал любой точки поля можно определить из выражения

Постоянная интегрирования определяется заданием точки с нулевым потенциалом. Потенциал измеряется в вольтах (В).

Разность потенциалов между двумя точками поля а и b и напряженность поля связаны соотношением

Легко показать, что разность потенциалов не зависит от формы пути интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Проведем в поле произвольную замкнутую кривую а—1—б—2—а.

---

Так как циркуляция вектора Е равна нулю, то

Разобьем этот интеграл на два интеграла; их сумма равна нулю:

или

Если изменить направление обхода b2а на обратное, то знак интеграла при этом изменится и

т. е. значение линейного интеграла не зависит от выбора пути, а зависит только от положения точек а и б.

Потенциал поля точечного заряда легко найти, подставив в формулу значение Е из формулы :

.

Так как 1_Rdl=dR, то

Если принять потенциал равным нулю при R =∞, то постоянная интегрирования обратится в нуль и

Потенциал поля неподвижных объемных, поверхностных и линейных зарядов можно получить методом наложения

Зная потенциал, можно найти напряжённость электрического поля по формуле :

В поле объемных зарядов вектор Е везде конечен и непрерывен. В поле поверхностных зарядов вектор Е конечен всюду, но претерпевает разрыв на поверхности S, по которой распределен заряд. В поле линейных зарядов вектор Е обращается в бесконечность на линии L, вдоль которой распределен заряд.

2. Уравнения пуассона и лапласа

Как было показано выше, электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы только при расчете полей простой конфигурации.

В общем случае расчет поля состоит в решении уравнений Пуассона и Лапласа.

Чтобы получить эти уравнения, используем соотношения

Подставив Е, получим:

Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать∇2φ. Следовательно,

В тех точках поля, в которых нет заряда,

Формула носит название уравнения Пуассона. Формула — уравнения Лапласа. Решение может быть записано в виде интеграла:

В
ведение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей. Он сводится к определению одной скалярной функции φ, зная которую, можно легко определить напряженность поля из выражения

Непосредственное определение напряженности поля из уравнения

свелось бы к нахождению трех скалярных функций, соответствующих трем проекциям вектора Е, что значительно сложнее.

Граничные: условия в электростатическом поле

На границе двух различных сред векторы поля должны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными.

Рассмотрим границу двух непроводящих сред, диэлектрические проницаемости которых равны ε1 ε2 . Пусть на границе этих сред имеется свободный заряд с поверхностной плотностью σ. Проведем замкнутую цилиндрическую поверхность S так, чтобы одна ее половина была расположена в первом диэлектрике, другая во втором. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции будет равен зарядам, которые находятся внутри объема, огра­ниченного замкнутой поверхностью S:

Представим поток вектора D в виде суммы трех потоков:

---

Е
сли площадка ∆S невелика, то можно считать, что во всех точках этой площадки вектор D имеет одну и ту же величину, тогда

Если высоту цилиндра уменьшать так, чтобы площадки ΔS стремились к границе между диэлектриками, то поток через боковую поверхность будет стремиться к нулю. В пределе он обратится в нуль, и тогда Dln∆S—D2n∆S = σ∆S. После сокращения на ∆S мы получим первое граничное условие:

или

Нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе двух непроводящих сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на границе.

Если σ = 0, то

Нормальная составляющая вектора D на границе непрерывна.

Для получения второго граничного условия проведем замкнутую линию L так, чтобы одна ее часть находилась в первом диэлектрике, другая — во втором. Зададимся направлением обхода по часовой стрелке и составим циркуляцию вектора напряженности по контуру 1-2-3-4. В электростатическом иоле циркуляция вектора Е равна нулю.

Представим циркуляцию в виде четырех линейных интегралов:

Если длина отрезка ∆1 невелика, то вектор Е можно считать одинаковым на всем отрезке. Тогда

Если отрезки 2-3 и 4-1 постепенно уменьшать так, чтобы в пределе они стали равными 1улю, а отрезки ∆1 совпали с граничной поверхностью, то остальные два интеграла обратятся в нуль и E1τ∆l — E2τ∆l = 0. После сокращения на ∆1 получим второе граничное условие:

На границе двух непроводящих сред касательные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. Надо отметить, что на поверхности раздела двух сред потенциал непрерывен φ1=φ

Если одна из сред проводящая, то граничные условия несколько изменятся. В проводящей среде векторы поля равны нулю, а потенциал всех точек проводника, один и тот же. Пусть первая среда диэлектрик с проницаемостью ε, вторая — проводник; тогда граничные условия запишутся следующим образом;

3. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух или нескольких разнородных сред, то векторы поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений. Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматриваются среды однородные, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов. Определив векторы поля от совместного действия этих зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят величину введенных фиктивных зарядов и искомые векторы поля.

Пример 1. Заряд Q расположен в диэлектрике с проницаемостью ε на расстоянии d от проводящей плоскости .Требуется определить векторы поля в диэлектрике.

Граничным условием для рассматриваемой задачи является равенство нулю касательной составляющей напряженности электростатического поля на проводящей поверхности. Покажем, что поле двух зарядов, заданного Q и фиктивного Q1, равноудаленных от граничной поверхности, т. е. отстоящих друг от друга на расстоянии 2d, и расположенных в однородном диэлектрике с проницаемостью ε, такое же, как и исследуемое поле. Величина заряда Q1 определится из граничного условия. В области 1 заряд и среда такие же, как и в основной задаче. При одинаковых граничных условиях, по теореме единственности решения уравнений поля, векторы поля в обеих задачах должны быть одинаковыми. На плоскости хОу напряженность поля двух точечных зарядов по

---

По условию касательная составляющая Eгр равняется нулю, т. е.

Следовательно, Q1 = — Q. Фиктивный заряд должен быть равен заданному по величине и иметь противоположный знак.

В любой точке пространства над плоскостью хОу, т. е. в объеме, занятом полем,

Плотность поверхностных зарядов, индуцированных на граничной плоскости

Можно показать, что весь заряд, индуцированный на граничной поверхности проводящей среды, равен фиктивному заряду. Для этого надо произведение σ_инд dS проинтегрировать по всей плоскости хОу.

Следует заметить, что заряд Q притягивается к проводящей плоскости с силой

В области под плоскостью хОу поля нет, так как среда, заполняющая эту область, проводящая.

Пример 2. Заряд Q расположен вблизи плоскости раздела двух диэлектриков и отстоит от нее на расстоянии d. Проницаемость диэлектрика, в которой находится заданный заряд, равна ε1. Проницаемость второго диэлектрика ε2. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в обоих диэлектриках. На плоскости раздела должны иметь место следующие соотношения: Е1τ = E2τ; ε1E1n=ε2Е2n. Второе соотношение справедливо в том случае, когда на поверхности раздела двух диэлектриков нет свободных зарядов. Решение рассматриваемой задачи можно свести к решению двух более простых задач. Рассмотрим первую из них.

В однородном диэлектрике с проницаемостью ε1 на расстоянии 2d друг от друга расположены два точечных заряда Q и Q1. Заряды равноудалены от плоскости хОу.. Среда одинаковая, заряд один и тот же. Следовательно, если для произвольной точки, лежащей на плоскости хОу, в обеих задачах вектор Е будет одинаковым, то и в любой точке области 1 на основании теоремы единственности решение уравнений поля должно быть одинаковым. Напряженность и потенциал ноля двух точечных зарядов можно определить методом наложения:

где R1 и R11 - расстояния от зарядов Q и Q1 соответственно до исследуемой точки.

Э
ти же формулы будут справедливы для основной задачи в области I, если будут выполнены граничные условия. На плоскости xOy:

По условиюЕ1τ = Eτ; E1n=Еn. Рассмотрим вторую, простую задачу. В однородном диэлектрике с проницае­мостью ε2 находится точечный заряд Q2. Он отстоит на расстоянии d от плоскости хОу. на­ходим, что для области II под плоскостью хОу условия обеих задач совпадают. Диэлектрик один и тот же; зарядов нет. Если на плоскости хОу значение вектора Е в обеих задачах будет одинаковым, то по тео­реме единственности Е в любой точке области II определится как на­пряженность поля точечного заряда Q2.

Для точечного заряда

На плоскости xOy

По условию необходимо, чтобы EIIτ=E2τ; EIIn=E2n. Учитывая граничные условия основной задачи , получаем:

Пользуясь этим выражением можно определить неизвестные фиктивные заряды

Знаки зарядов Q и Q2 всегда одинаковые. Знаки зарядов Q1 и Q одинаковые при ε1>ε2 и разные при ε1<ε2 . Если ε1=ε2, то заряд Q=0, заряд Q2=Q. Получается поле точечного заряда в однородной среде. Если вторая среда является проводником, то можно положить ε2=∞, тогда Q1=-Q; Q2=0.

---

Смотрите также файлы

• Т_12.doc

• Т_13.docx

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf