Металлический цилиндр круглого сечения находится в однородном диэлектрике с проницаемостью ε.

Длина цилиндра L намного больше его радиуса а.

Цилиндр несёт на себе положительный заряд Q. Требуется определить напряжённость электрического поля Е и потенциал φ. Внутри цилиндра поля нет: Е=0. Все точки цилиндра имеют один и тот же потенциал. Вне цилиндра поле симметрично и плоскопараллельно.

И
зменение характера поля вблизи концов цилиндра можно не учиты­вать, т. е. считать его бесконечно длинным. Напряженность поля Е имеет одинаковые значения в точках, равноудаленных от оси цилиндра. Направление вектора Е нормально к оси. Проведя замкнутую поверхность S так как показано на рисунке, и применив теорему Гаусса, можно записать:

или

Так как

то

а

Чтобы найти потенциал, надо воспользоваться формулой :

Картина поля изображена на рис. 1-17.

Эквипотенциальные поверхности будут цилиндрическими, коак­сиальными с поверхностью проводника. Линии вектора Е представляют собой радиальные прямые.

Как видно из полученных формул, Е и φ меняются при изменении расстояния r от выбранной точки поля до оси цилиндра, а от радиуса цилиндра а не зависят. Это обстоятельство позволяет при исследовании поля заменить металлический цилиндр конечного радиуса заряженной осью, совпадающей с осью проводника. Поле в области r≥a при такой замене останется без изменения, конечно, при условии, что заряд в обоих случаях один и тот же.

В отличии от поля цилиндра поле заряженной оси будет существовать во всём пространстве, причём если линейную плотность заряда принять равной τ=Q/l, то напряжённость электрического поля заряженной оси будет равна:

(1-24)

а потенциал определится из выражения

В случае коаксиального кабеля с внутренним проводником радиуса а и наружным проводником радиуса b выражения Е и φ в диэлектрике между проводами (а≤r≤b) будут такими же, как и в случае одного заряженного цилиндра,

Здесь Q- абсолютное значение заряда одного из проводников кабеля; l- длина кабеля. Если потенциал наружного проводника принять равным нулю, то постоянная интегрирования определится из выражения

и потенциал равен:

В области 0≤r≤a и b≤r≤∞ поля нет.

Поле двух параллельных разноимённо заряженных осей.

Две параллельные оси, отстоящие друг от друга на расстоянии 2х0, несут одинаковый по величине и противоположный по знаку заряд Q. Линейная плотность заряда равна:

Пользуясь методом наложения и формулами для заряженной оси можно записать:

где r1- расстояние от выбранной точки поля до положительно заряженной оси; r2- до отрицательно заряженной оси

Если принять потенциал равным нулю при r1= r2, то постоянная интегрирования обратится в нуль. Картина поля изображена на рисунке. Следы пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью хОу — окружности, удовлетворяющие равенству r1/r2 = const = k.

---

Обозначим х и у координаты произвольной точки М, через которую проходит эквипотенциальная линия. Расстояние от точки М до по­ложительно заряженной оси равно:

От отрицательно заряженной оси расстояние до точки М равно:

Отношение их равно:

После преобразования можно записать равенство

Прибавив к обеим частям которого величину

получим уравнение искомой эквипотенциальной линии:

Это уравнение окружности с радиусом

И координатам центра

Знак плюс берется при k < 1, т. е. для полупространства с отри­цательно заряженной осью, а знак минус — при k > 1, т. е. для полу­пространства с положительно заряженной осью. В первом случае ок­ружности расположены справа от оси xОу, во втором случае — слева. Величины х0, x1 и R связаны соотношением

в чем можно убедиться, подставив значения х1 и R. Можно показать, что линии вектора Е представляют собой семейство окружностей

которые проходят через заряженные оси. Радиус их равен , а координаты центров х = 0 и y=y1.

Поле двухпроводной линии передачи электрической энергии.

Д
ва параллельных цилиндрических провода радиуса а расположены па расстоянии d ≥ а друг от друга. Длина линии l. Заряд одного про­вода + Q, другого — Q. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды ε. Длина линии настолько велика, что искажением поля у концов линии можно пренебречь. Так как заряды влияют друг на друга, то распределение их по поверхности проводов будет неравномерным. Чтобы найти потенциал и напряжённость электростатического поля линии, надо определить такое расположение двух фиктивных заряженных осей, при котором поверхность проводов линии совпадает с соответствующими эквипотенциальными поверхностями этих осей. Поле вне проводов такое же как поле заряженных осей. Внутри проводов электростатического поля нет. Пользуясь формулой и учитывая , что x1=0,5, R=a; τ=Q/l, можно найти расстояние ∆ между геометрическими осями проводов и фиктивно заряженными осями

И потенциал любой точки М (x, y)

Емкость коаксиального кабеля.

Пользуясь формулой , можно записать потенциал внешнего и внутреннего проводников кабеля:

Емкость кабеля будет равна:

Подставив значения постоянных π, ε0 и записав вместо натураль­ного логарифма десятичный, получим формулу емкости единицы длины кабеля, приведенную в § 11-1 ч. I:

Емкость двухпроводной линии передачи электри­ческой энергии.

Так как все точки одного провода в электрическом поле имеют оди­наковый потенциал, то запишем его, пользуясь формулой , для точки А с координатами , y=0, и для точки В с координатами ,у=0. Потенциалы этих точек

Следовательно, емкость линии

Так как а>>∆, a d >> а, то с достаточной степенью точности емкость двухпроводной линии можно считать равной:

Для воздушноq линии . Подставив значения π, ε0 и заменив натуральный логарифм десятичным, получим формулу емкости еди­ницы длины линии, приведенную :

---

Электростатическое поле описывается уравнениями Пуассона

и Лапласса

Уравнение Пуассона записывается для области, в которой распре­делены объемные заряды, а уравнение Лапласа описывает поле в остальном пространстве. Интегрирование должно быть выполнено с учетом граничных условии.

Т
очка пулевого потенциала залжется произвольно. В поле объем­ных зарядов напряженность поля Е должна быть конечной величиной.

Рассмотрим следующую задачу.

В однородное электростатическое поле с напряженностью Е0=const помещен металлический шар радиуса а. Шар не заряжен. Диэлектрик, окружающий шар, имеет проницаемость ε. Определить напряженность поля вокруг шара. Начало сферических координат поместим в центре шара. Координату θ будем отсчитывать по часовой стрелке от направления вектора Е0 .

Из соображений симметрии можно установить, что напряженность ноля и потенциал будут зависеть только от двух сферических коорди­нат R и θ. Так как шар металлический, то внутри шара Е=0. Вне шара поле описывается уравнением Лапласа .

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты R, другая только от θ.

Чтобы определить эти функции, подставим их произведение в уравнение Лапласса. Получим:

Умножив обе части на R2/f1f2, получим:

Равенство это должно быть справедливо при любых значениях R и θ. Это возможно лишь в том случае, когда каждая из частей уравнения равна некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную через k = const.

Уравнение Лапласа разобьется на два уравнения:

Первое уравнение является частным случаем уравнения Лежандра, которое удовлетворяется специальными сферическими функциями, содержащими полиномы Лежандра.

В рассматриваемой задаче искомое решение равно f2 (θ) = cos θ, причем постоянная k2 должна быть равна 2. В этом легко убедиться под­становкой написанного решения в уравнение.

Второе уравнение примет вид:

Введем новую независимую переменную ω так, чтобы R = eω, тогда

Найдём

и

Подставив найденные выражения в решаемое уравнение, получим:

Решение полученного уравнения даст искомую функцию

Корни характеристического уравнения α1=1; α2=-2.

Следовательно,

Окончательное решение уравнения Лапласа примет вид:

Зная потенциал, легко найти и напряжённость поля.

Проекции Е в сферической системе координат

Чтобы найти постоянные интегрирования A1 н А2, необходимо учесть граничные условия. При R=∞ влияние шара не сказывается и Е=Е0, следовательно,

Откуда

Поверхность металлического шара является эквипотенциальной, поэтому φ=const при R = а и всех значениях переменной θ, что возможно только при условии

Следовательно,

Подставив значения A1 и А2, получим искомый потенциал поля

и проекции напряженности электрического поля

Численное значение E равно:

Наибольшая напряженность поля в точке R = а и θ=0

---

Емакс=3Е0.

Если момент некоторого диполя принять равным

то проекция напряженности электрического поля в рассматриваемой задаче можно записать следующим образом:

Искомое поле получится наложением двух полей, однородного с напряженностью

и поля диполя с моментом р и напряжённостью

Металлический шар, вне­сенный в однородное элект­рическое поле, меняет кар­тину поля так, как изменил бы ее диполь с моментом р, внесенный в то же поле.

Найдем плотность заря­дов, индуцированных на по­верхности шара. Согласно граничному условию (1-18)

Поверхностная плотность заряда

На одной половине шара индуцируется положительный заряд, на другой — равный ему по величине отрицательный заряд:

Если положить, что заряд эквивалентного диполя равен этой ве­личине, то плечо диполя

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ И ЗАРЯДОВ В СИСТЕМЕ ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ. ГРУППЫ ФОРМУЛ МАКСВЕЛЛА.

При исследовании процессов в линиях электропередач может встретиться следующая задача. Даны несколько параллельных проводов. Взаимное их расположение и электрические заряды на них известны. Требуется определить потенциалы этих проводов. Обозначим потенциал произвольной точки р между проводами, обусловленный зарядом Qm одного из проводов, через φpm. Так как потенциал и заряд пропорциональны, то

Коэффициент Врт — величина постоянная.

Если число всех проводов обозначить п, то потенциал в точке р, обусловленный зарядами всех проводов, можно определить, пользуясь принципом наложения:

Если точку р выбрать на поверхности первого провода, то его потенциал

Аналогично можно записать потенциалы остальных про­водов:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Предположим, что все заряды, кроме Ql равны нулю, a Qr = 1. Тогда φk= Вkl. Следовательно, коэффициент Вкl, численно равен потенциалу провода k, когда заряд про­вода l равен единице, а заряды остальных проводов равны нулю. Постоянные В называются потенциальными коэффициентами. Они всегда положительны. При перестановке индексов величина коэффициента не меняется; Вkl = Blk.

Если полученную систему уравнений решить относи­тельно зарядов, то

Постоянные А называются емкостными коэффициентами. Связь между потенциальными и емкостными коэффициентами следующая;

где определитель системы

а алгебраическое дополнение

Коэффициенты А с одинаковыми индексами положительны; с различными индексами — отрицательны. При перестановке индексов величина коэффициента не меняется Аkl= Alk.

Пусть потенциал одного из проводов, например φl равен единице, а потенциал остальных проводов равен нулю, тогда Аkl = Qk. Следовательно, коэффициент Аkl численно равен заряду Qk, когда потенциал φl = 1, а потенциал остальных проводов равен нулю.

Систему уравнений можно записать и иначе:

где

Аналогично можно преобразовать и остальные уравнения

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

---

где

Коэффициенты С называются частичными ем­костями. Если индексы у частичной емкости одина­ковые, ее называют собственной частичной емкостью. Если индексы разные — взаимной частичной емкостью.

Частичные емкости всегда положительны. При изменении порядка индексов коэффициент не меняется Ckl = Clk.

Зная частичные емкости и потенциалы проводов, можно определить энергию электрического поля всей системы:

Коэффициенты А могут быть определены эксперимен­тально. Зная их, можно подсчитать частичные емкости. Частичные емкости учитываются не только при расчете электростатических полей. Например, при исследовании процессов в электронных лампах, в полупроводниковых триодах учитывают частичные емкости между электродами.

---

Смотрите также файлы

• Т_12.doc

• Т_13.docx

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf