Файл: Метоодические указания к ЛР.docx

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Кубанский государственный технологический университет»

Кафедра электротехники и электрических машин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов очной формы обучения направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

Краснодар

2 015

Составители: канд. техн. наук, доц. И.Н. Автайкин

канд. техн. наук, доц. Я.М. Кашин,

Математическое моделирование в электротехнике: методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов очной формы обучения направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника /Сост.: И.Н. Автайкин, Я.М. Кашин; Кубан. гос. технол. ун-т., каф. электротехники и электрических машин. – Краснодар, 2015. – 50с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторных работ, описание лабораторных установок, содержание и порядок выполнения работ, содержание отчета и контрольные вопросы для допуска и защиты лабораторных работ. Приведен список литература

Ил. 21. Табл. 12, Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: доц. каф. ЭиЭМ, канд. техн. наук, А.М. Квон

доц., канд. техн. наук, зам директора ЗАО Спецэнергостроймонтаж" И.В. Лежепёков

Содержание

Введение

Современная электроэнергетическая система (ЭЭС) представляет собой сложную систему, имеющую большое число элементов и подсистем. Исследование таких систем невозможно без применения математического моделирования и ЭВМ. Математические модели широко используются для решения электроэнергетических задач.

Математическая модель ЭЭС – это совокупность математических формул или уравнений, определяющих взаимосвязь между параметрами режима ЭЭС.

В ходе выполнения лабораторных работ студент должен изучить методы построения и анализа математических моделей электрических систем, проектируемых с помощью вычислительной техники.

Перед выполнением лабораторной работы внимательно изучить указания по технике безопасности.

1 Основные понятия, термины, определения

1.1 ЭЭС – совокупность электростанций, электрических и тепловых сетей, соединённых между собой и связанных общностью режимов в непрерывном процессе производства, преобразования, передачи и распределения электрической и тепловой энергии при общем управлении этим режимом.

---

1.2 Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

1.3 Режим работы ЭЭС – совокупность процессов, происходящих в системе и определяющих в любой момент времени состояние параметров режима.

1.4 Топологический метод - обобщенный метода анализа установившихся рабочих режимов сложных схем замещения электрических цепей на базе применения аппарата матриц и элементов топологической теории графов.

2 Техника безопасности

К работе в кабинете информатики допускаются только студенты, прошедшие инструктаж по технике безопасности, соблюдающие указания преподавателя, расписавшиеся в журнале регистрации инструктажа.

Строго запрещается:

• включать без разрешения оборудование;

• трогать разъемы соединительных кабелей и проводов (возможно поражение электрическим током);

• прикасаться к питающим проводам и устройствам заземления;

• прикасаться к экрану и к тыльной стороне монитора, клавиатуры;

• включать и выключать аппаратуру без указания преподавателя;

• работать в верхней одежде и влажными руками;

• прыгать, бегать (пылить);

• класть диски, книги, тетради и другие предметы на монитор и клавиатуру;

• устанавливать или копировать программы с дисков и флеш-носителей на компьютер;

При появлении запаха гари немедленно прекратите работу, выключите аппаратуру и сообщите об этом преподавателю.

Во время работы:

• строго выполняйте все указанные выше правила, а также текущие указания преподавателя;

• следите за исправностью аппаратуры и немедленно прекращайте работу при появлении необычного звука или самопроизвольного отключения аппаратуры;

• легко и быстро нажимайте на клавиши, не допуская резких ударов;

• не пользуйтесь клавиатурой и мышью, если не включен компьютер;

• работайте на клавиатуре чистыми руками;

никогда не пытайтесь самостоятельно устранить неисправность в работе аппаратуры.

3. Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Целью работы является изучение методов и алгоритмов нахождения корней нелинейных уравнений.

Содержание работы

1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции);

2. Метод секущих (хорд);

3. Метод простых итераций;

4. Метод Ньютона (касательных);

Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Допустим, что на отрезке [а,b], расположено искомое значение корня х=с, т. е. с ϵ [а,b]. В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка:

---

Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и [со,b], т.е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а,b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка

и т. д.

Таким образом, k-е приближение вычисляется как

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k - итераций он сокращается в 2к раз:

Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 1.

Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала становится меньше заданной величины точности - нахождения корня.

Рисунок 1.1 Графическая интерпретация нахождения корней

2. Метод секущих (хорд)

В этом методе кривая f(x) заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)). В зависимости от знака выражения f(a)*f ^//(a) метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.2 а, б.

а) б)

Рисунок 1.2 Графическая интерпретация метода хорд: а) F(a)F ^//(a)>0 б) F(a)F ^//(a)<0

Пусть f(a)*f^//(a)>0 (рис.2а). Тогда x₀=b, точка a будет оставаться неподвижной. Следующее приближение x₁ находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (x₀, f(x₀)) с осью x.

В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2):

Таким образом, для f(a)*f^//(a)>0 точка пересечения хорды с осью x:

На следующей итерации в качестве x₀ надо взять вычисленное значение x₁.

Пусть теперь f(a)f ^//(a)<0 (рис.2б). Тогда x₀=a, точка b неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки (b, f(b)) и (x₀, f(x₀)):

Вычисляем точку пересечения хорды с осью x: .

На следующей итерации в качестве x₀ надо взять вычисленное значение x₁

Повторять операцию следует до тех пор, пока xi-xi-1< не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Задание к лабораторной работе №1

Таблица 1.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

№ варианта	Функция	Интервал
1		-
2		[-1,0]
3		-
4		[0,3]
5		[1,5]
6		[0,3]
7		[0,3]
8		[1,5]
9		[0,3]
10		[-1,1]
11		[5,10]
12		[0,1]
13		[0,1]
14		[0,1]
15		[0,10]
16		[0,1]
17		[0,5]
18		[0,20]
19		[0.5,2]
20		[0.5,2]

Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.1.

1. Построить в среде Mathcad зависимость f(x) и локализовать корни.

2. Рассчитать корни нелинейного уравнения вышеприведенными методами с точностью . Результаты расчетов занести в таблицу результатов расчета;

---

_{Таблица результатов расчета}

Шаг	х	f(x)	Ошибка ɛ
1
2
N

3. Проверить результаты расчетов в среде Mathcad. Программы расчетов приведены в приложении к методическим указаниям.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

4. Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Объяснить суть метода бисекций (деления отрезка пополам).

2. Объяснить суть метода метода секущих (хорд).

4. Лабораторная работа №2

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Целью работы является изучение методов и алгоритмов интерполирования и аппроксимации функций и реализации их в MathCad.

Содержание работы

1. Исследование локальных методов интерполирования результатов эксперимента;

2. Исследование глобальные методов интерполирования результатов эксперимента.

Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых.

Интерполя́ция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

К интерполяционным методам можно отнести: кусочно-постоянную, кусочно-линейную интерполяцию, кубический интерполяционный сплайн, интерполяционный многочлен Лагранжа.

1. Кусочно-постоянная интерполяция

На каждом отрезке   интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Рисунок 2.1 Левая кусочно-постоянная интерполяция

Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Рисунок 2.2 Правая кусочно-постоянная интерполяция

2. Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале  функция является линейной .

Значения коэффициентов находятся из уравнений:

Функцию на каждом интервале можно записать в виде:

Рисунок 2.3 кусочно-линейной интерполяция

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

где базисные полиномы определяются по формуле:

Для трех узлов интерполяции N=2

- уравнение, проходящей через точки (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)

Задание к лабораторной работе №2

Таблица 2.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

---

№	Функции	Интервал
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.2.1.

Для заданной функции f(x) выполнить следующее:

1. Разбить исходный интервал [] на 10 равных интервалов.

2. Записать уравнения для кусочно-постоянной интерполяции (левой и правой). Изобразить графически интерполирующие и заданную функцию. Используя Mathcad, определить интегральную ошибку интерполирования.

3. Повторить пункты 2-4 для кусочно-линейной интерполяции.

4. Записать уравнения многочлена Лагранжа для степеней от 2 до 5. Применив MatCad изобразить графически интерполирующие функции. Определить интегральные ошибки.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

4. Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Что называется интерполяцией и аппроксимацией функции? Чем отличается локальная интерполяция от глобальной?

2. Объяснить суть метода кусточно-постоянной и кусочно -линейной интерполяций.

3. Объяснить методику определения коэффициентов уравнений кусочно -линейной интерполяций. От чего зависит точность интерполирования?

4. Какие условия накладываются на сплайн-функцию?

5. Из каких уравнений определяются коэффициенты сплайн-функции?

6. Объяснить методику получения многочлена Лагранжа. Как зависит точность интерполяции от количества узлов?

5. Лабораторная работа №3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Целью работы является изучение методов и алгоритмов моделирования статических характеристик электрических нагрузок в системах электроснабжения.

Содержание работы

1. Математическое моделирование статических нагрузок по напряжению методом полиноминальной интерполяции.

Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

В общем случае статические характеристики нагрузки по напряжению могут быть представлены в виде интерполяционных полиномов второго порядка:

---