Файл: Метоодические указания к ЛР.docx

(5.1)

где и – активная и реактивная мощности нагрузки при номинальном напряжении; – статические характеристики нагрузок в относительных единицах; – номинальное напряжение нагрузки или сети; – коэффициенты (параметры) моделей, полученные в результате обработки экспериментальных данных.

Средние статические характеристики примерно соответствуют следующему составу нагрузки, %:

Крупные асинхронные двигатели - 15%

Мелкие асинхронные двигатели - 35%

Крупные синхронные двигатели - 9%

Печи и ртутные выпрямители - 11%

Освещение и бытовая нагрузка - 22%

Потери в сетях - 8%

Обычно принимается , т.е. линейная зависимость активной нагрузки от напряжения. Коэффициенты в зависимости от характеристики узла нагрузки приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Значения коэффициентов

Характер нагрузки	Статические характеристики
	пологие		средние		крутые
	bP	cP	bP	cP	bP	cP
Преобладают крупные промышленные предприятия	0,3	0,7	0,6	0,4	0,9	0,1
В среднем	0,4	0,6	0,9	0,1	1,4	–0,4
Крупных промышленных предприятий нет	0,9	0,1	1,2	–0,2	1,5	–0,5

Коэффициенты в зависимости от коэффициента мощностиприведены в табл. 6.2.

Таблица 5.2. Значения коэффициентов

Коэффициент мощности	Статические характеристики
	пологие				средние				крутые
	aQ	bQ	cQ	aQ		bQ	cQ	aQ		bQ	cQ
0,83…0,87	10	–18	9	9,6		–15,3	6,7	10		–14,4	5,4
0,88…0,90	11,9	–21,8	10,9	11,4		–18,5	8,1	11,9		–17,4	6,5
0,91…0,93	14,1	–26,2	13,1	13,5		–22,2	9,7	14,1		–21	7,9

Моделирование электрических нагрузок статическими характеристиками по напряжению в расчетах установившихся режимов считается наиболее точным способом учета потребляемой мощности нагрузки. Однако, для получение действительных статических характеристик требуются экспериментальные исследования, а для подбора типовых статических характеристик должен быть известен состав нагрузки, который может сильно изменяться во времени. Поэтому в большинстве случаев пользуются самой простой моделью нагрузки – постоянными значениями активной и реактивной мощности: P =const, Q = const.

В некоторых задачах, в которых выполняются расчеты установившихся режимов, токов короткого замыкания в электрической сети или расчеты устойчивости ЭЭС, нагрузки принято представлять схемами замещения. Такое представление является точным в том случае, если для нагрузки известны ее статические характеристики и величина подведенного напряжения. В других случаях такие модели являются приближенными.

---

Рассмотрим электрическую цепь, в которой имеется нагрузка, представленная в виде сопротивления . Это сопротивление в общем случае является переменной величиной – получается нелинейная электрическая цепь. Даже если считать мощность, потребляемую нагрузкой постоянной, сопротивление будет меняться в зависимости от напряжения по формуле:

(5.2)

Кроме того, мощность также зависит от напряжения по статической характеристике и поэтому

(5.3)

Нагрузка может быть представлена в виде двух схем замещения – с последовательным и параллельным соединением элементов, рис. 6.2.

Рисунок. 5.1. Схемы замещения нагрузки

При последовательном соединении:

, (5.4)

а при параллельном:

(5.5)

При постоянной величине заданного сопротивления или проводимости моделирование с помощью выражений (5.4) и (5.5), дает характеристики: (5.6)

Моделирование постоянным сопротивлением дает обратную квадратичную зависимость от напряжения, а постоянной проводимостью – зависимость пропорционально квадрату напряжения. Вторая модель хорошо согласуется с моделью статической характеристики реактивной мощности нагрузки (5.1), поэтому для реактивной мощности вполне приемлема. Для активной мощности можно, например, воспользоваться линейной моделью, тогда будем иметь:

(5.7)

где и вычислены при номинальном напряжении нагрузки.

На рис. 5.2 представлены действительные статические характеристики нагрузки – сплошные линии – и характеристики, полученные по моделям (4.8) – пунктирные линии.

Иногда в качестве данных по нагрузке бывают известны измеренные токи нагрузки. Принимая какое либо значение коэффициента мощности нагрузки, ее можно моделировать постоянными значениями токов :

(5.8)

что дает линейные статические характеристики как активной, так и реактивной мощности. Такие модели нагрузки используются в низковольтных сетях и сетях среднего напряжения.

Рисунок. 5.2. Действительные статические характеристики нагрузки и зависимости мощностей от напряжения при моделировании нагрузки схемой замещения

Все математические модели электрических нагрузок, рассмотренные выше, сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.3. Математические модели электрических нагрузок

Математические модели	Мощность нагрузки	Примечания
Статические характеристикинагрузки по напряжению		Получаются поданным эксперимента или под- бором типовых характеристик
Постоянные значения мощности нагрузки
Схема замещения: Yн =Gн –jBн =const
Схема замещения:
Постоянное значение тока нагрузки:

Во всех формулах – полная мощность нагрузки, которая может быть принята равной номинальной или максимальной мощности, а также мощности некоторого исходного или начального режима работы электроприемника или потребителя.

---

Задание к лабораторной работе №3

Найти коэффициенты статической характеристики нагрузки по опытным данным для активной и реактивной мощности и определить их регулирующие эффекты. Данные приведены в относительных единицах в табл. 5.4.

Таблица 5.4

	0.82	0.86	0.91	0.95	1	1.05	1.09	1.15
	0.82	0.86	0.93	0.96	1	1.04	1.09	1.13
	0.61	0.69	0.79	0.90	1	1.13	1.27	1.41

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

4. Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1.Что такое статические характеристики нагрузки?

2.Что такое регулирующий эффект нагрузки?

3.Какие существуют основные виды электрических нагрузок?

4.Какие нагрузки не потребляют реактивной мощности?

5.Какой регулирующий эффект имеют печи сопротивления и лампы накаливания?

6.Как изменяется регулирующий эффект по реактивной мощности асинхронного двигателя при снижении напряжения?

7.Какие математические модели используются для моделирования электрической нагрузки в установившихся режимах?

8.Что такое типовые статические характеристики?

9.Какие схемы замещения используются для моделирования нагрузки?

6. Лабораторная работа №4

МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Целью работы является исследование основных численных алгоритмов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание работы

1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера;

2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений усовершенствованным методом Эйлера.

3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом (Эйлера-Коши).

4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Рунге-Кутты.

Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

1. Метод Эйлера

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

2. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

---

(6.1)

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (6.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной

(6.2)

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (6.3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (6.2) и начальное условие (6.3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение с начальным условием то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (6.2) совместно с начальным условием (6.3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами

Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

или

(6.4)

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке .

Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

.

Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

(6.5)

Рисунок. 6.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера

Решение ОДУ в некоторой точке x_i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования

---

где - решение, рассчитанное с шагом 2h , – решение, рассчитанное с

шагом h .

2. Модифицированный метод (Эйлера-Коши)

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

(6.10)

Коррекция:

(6.11)

Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Задание к лабораторной работе №4

Таблица 6.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

№ варианта	Функции	Начальные условия	Интервал
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.6.1.

Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее:

1. Подобрать оптимальный шаг интегрирования дифференциального уравнение методом Эйлера при котором относительное изменение решения составит 5%. Первоначальный шаг h выбрать равным 1/10 интервала интегрирования. Последующие шаги уменьшать в 2 раза. Используя программу расчета в среде Mathcad проверить результаты.

2. Решить дифференциальное уравнение усовершенствованный методом Эйлера взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad .

3. Решить дифференциальное уравнение модифицированным методом Эйлера-Коши взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad .

4. Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad.

5. Сравнить точность расчетов приведенных методом.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

---