Файл: Методика АСУТП контрольная работа.doc

Оглавление

Контрольная работа № 1. Высказывания и логические операции над ними.

Понятие высказывание является основным неопределяемым понятием математической логики. Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическое значение высказывания «истина» («ложь») обозначается или буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами.

Отрицанием высказывания а называется высказывание , которое истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно. Высказывание читается так: «Не а». Таблица истинности для имеет вид:

а
0	1
1	0

Конъюнкцией высказываний a, b называется высказывание a ˄ b (a&b), которое истинно, если a и b истинны, и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказывание a ˄ b читается: «a и b».

Дизъюнкцией высказываний a, b называется высказывание a ˅ b, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний a или b истинно, и ложно, если оба они ложны. Читается: «a или b».

Импликацией высказываний a, b называется высказывание , которое ложно, если a истинно и b ложно, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если a , то b».

Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний a, b называется высказывание , которое истинно, если оба высказывания a и b одновременно истинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Читается: «a тогда и только тогда, когда b».

Таблица истинности для этих логических операций такова:

Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные).

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения выше определенных пяти логических операций, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими латинскими буквами. Логические значения формулы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.

Формула А, всегда истинная, называется тождественно истинной формулой или тавтологией и записывается А≡1. Формула В, всегда ложная, называется тождественно ложной формулой и записывается В≡0.

Пример 1. Среди следующий предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны:

1. река Волхов впадает в озеро Ильмень;

2. всякий человек имеет брата;

3. пейте томатный сок!;

4. существует человек, который моложе своего отца;

5. который час?;

6. ни один человек не весит более 1000 кг;

7. 23 < 5;

8. для всех действительных чисел х и у верно равенство х + у = у + х

9. х²-7х+12;

10. х²-7х+12=0.

Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6), 8) – истинные, а высказывания 1), 2), 7) – ложные. Предложения 3), 5), 9), 10 не являются высказываниями.

Пример 2. Пусть а – высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», b – высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать словесную формулировку высказываний:

1. a ˄ ; 2) ; 3) .

Решение. а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике»; б) «Если студент Иванов изучает английский язык, то он успевает по математической логике»; в) «Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык».

Пример 3. Составить таблицу истинности для высказывания a ˅ .

Решение. Таблица истинности для высказывания a ˅ имеет вид:

Задания для контрольной работы № 1.

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

1. Москва – столица России;

2. студент физико-математического факультета;

3. ;

4. Луна есть спутник Марса;

5. a ˃ 0.

1. Приведите примеры предложений,

1. являющихся высказываниями;

2. не являющихся высказываниями.

1. Верны ли утверждения:

1. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;

2. сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;

3. существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна свободному члену?

1. Установите, истинно или ложно высказывание:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. , где - множество всех подмножеств множества N;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

1.5.Является ли высказыванием следующее предложение: «Это предложение ложно»?

1.6.Среди следующих высказываний указать элементарные и составные. В составных высказываниях выделить грамматические связки:

1) число 27 не делится на 3;

2) число 15 делится на 5 и на 3;

3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;

4) число 7 является делителем числа 42;

5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.

1.7.Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

1) 45 кратно 3 и 42 кратно 3;

2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;

3) или ;

4) 2 ≤ 5;

5) если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;

6) число 212 – трехзначное число и кратно 3 или 4.

1.8.Пусть p и q обозначают высказывания:

p – «Я учусь в школе»;

q – «Я люблю математику».

1. ; 5) &q;

2. ; 6) & ;

3. p&q; 7) ;

4. p& ; 8) .

1.9.Какие из следующих импликаций истинны:

1) если 2 2=4, то 2 < 3;

2) если 2 2=4, то 2 ˃ 3;

3) если 2