ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4710
Скачиваний: 6
Лекция 8
61
Сделаем замену
t = x
− x
n/2
.
ε = a
n+1
b
−x
n/2
Z
a
−x
n/2
(t + x
n/2
− x
0
)(t + x
n/2
− x
1
) . . . (t + x
n/2
− x
n
) dx.
Вспомним, что
a = x
0
,
b = x
n
, середина отрезка
[a, b] — это
a+b
2
= x
n/2
.
Кроме этого
x
i
− x
i
−1
= h. Отсюда
b
− x
n/2
=
−
a + b
2
,
a
− x
n/2
=
a + b
2
,
x
n/2
− x
0
=
n
2
h,
x
n/2
− x
1
=
n
2
− 1
h,
...
x
n/2
− x
n
=
n
2
− n
h =
−
n
2
h.
Вернёмся к погрешности
ε = a
n+1
(a+b)/2
Z
−(a+b)/2
t
−
n
2
h
t
−
n
2
− 1
h
· · ·
· · · (t − h)t(t + h) · · ·
· · ·
t +
n
2
− 1
h
t +
n
2
h
dx.
Пределы интегрирования симметричны, подинтегральная функция нечет-
ная. Интеграл равен нулю и погрешность также равна нулю.
1.8.1
Устойчивость квадратурных формул к погрешностям входных дан-
ных
Изучим влияние погрешности входных данных на результат численно-
го интегрирования. Рассмотрим в общем виде квадратурную формулу
Лекция 8
62
Ньютона–Котеса (неважно простую или составную)
b
Z
a
f (x) dx
≈
n
X
k=0
c
k
f (x
k
) = I
n
.
(8.2)
Заметим сразу, что для функции
f (x)
≡ 1 формула I
n
точна, т.е.
b
Z
a
1 dx =
n
X
k=0
c
k
· 1 и, следовательно,
n
X
k=0
c
k
= b
− a.
Пусть из-за округлений или неточных измерений входные данные со-
держат погрешность. Т.е. вместо точных значений
f (x
k
), k = 0, 1, . . . , n
мы располагаем
e
f (x
k
) = f (x
k
) + δ
k
, где
δ
k
— погрешность в точке
x
k
.
Вместо (8.2) получим
e
I
n
=
n
X
k=0
c
k
e
f (x
k
) =
n
X
k=0
c
k
f (x
k
) +
n
X
k=0
c
k
δ
k
= I
n
+ δI
n
, где δI
n
=
n
X
k=0
c
k
δ
k
.
Возможны два случая: (а) все
c
k
> 0, k = 0, 1, . . . , n и (б) не все c
k
одного знака.
В случае (a) имеем оценку
|δI
n
|
6
n
X
k=0
|c
k
||δ
k
| =
n
X
k=0
c
k
|δ
k
|
6
(max
k
|δ
k
|)
n
X
k=0
c
k
= (b
− a) max
k
|δ
k
|,
которая означает, что погрешность
δI
n
не зависит от количества узлов
n
(или, что то же самое, от величины шага
h). δI
n
пропорциональна наи-
большей из погрешностей входных данных
max
k
|δ
k
|. Случай (а) устойчив.
В случае (б)
n
P
k=0
|c
k
|
>
n
P
k=0
c
k
. Сумма
n
P
k=0
c
k
= b
− a равномерно ограниче-
на по
n, так как её величина не зависит от количества разбиений отрезка
[a, b]. Напротив, сумма
n
P
k=0
|c
k
| может не оказаться равномерно ограничен-
ной по
n и с ростом n будет неограниченно возрастать. Следовательно,
ошибка
|δI
n
|
6
n
X
k=0
|c
k
||δ
k
|
уже не будет пропорциональна
max
k
|δ
k
| (будет намного больше). Случай
(б) неустойчив.
Лекция 8
63
Подводя итог, скажем, что для устойчивости квадратурных формул
необходима положительность коэффициентов
c
k
. Следовательно, форму-
лы Ньютона–Котеса (простые или составные) должны быть основаны на
многочленах Лагранжа степени
n
6
9 и n
6= 8. При n = 8 или n
>
10
коэффициенты
c
k
меняют знак.
1.8.2
Приёмы вычисления несобственных интегралов
Будем рассматривать сходящиеся интегралы двух типов
1.
b
R
a
f (x) dx, причём f (x)
→ ∞ при x → a.
2.
∞
R
a
f (x) dx.
Второй интеграл можно свести к первому заменой переменной
t =
1
x
,
dx =
−
dt
t
2
,
1/a
R
0
f (1/t)
t
2
dt.
Рассмотрим интегралы первого типа. Непосредственное применение фор-
мул трапеций или Симпсона невозможно (так как в узле интегрирования
x = a функция f (x) неопределена). Использование формулы прямоуголь-
ников возможно, но оценка точности теряет смысл, так как
f
0
(0) неопре-
делена.
Пример 1.
Продемонстрируем приёмы, позволяющие получить надёж-
ные результаты в подобных случаях, на примере интеграла
I =
1
Z
0
cos x
√
x
dx.
а) Подходящая замена переменной
x = t
2
,
dx = 2tdt = 2
√
xdt,
I = 2
1
Z
0
cos(t
2
) dt.
Далее можно проводить вычисления с требуемой точностью по любой
квадратурной формуле.
Лекция 8
64
б) Интегрирование по частям
I =
1
Z
0
cos x
√
x
dx = 2
√
x cos x
|
1
0
+ 2
1
Z
0
√
x sin x dx.
Последний интеграл можно вычислить численно, но оценка погрешности
равна
O(h), т.к. (
√
x sin x)
0
|
x=0
не существует. Если ещё раз проинтегриро-
вать по частям, то под знаком интеграла окажется функция
f (x)
∈ C
2
[0, 1]
(дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке
[0, 1]). В этом случае
ошибка будет
O(h
2
).
в) Разбиение на два интеграла
I = I
1
+ I
2
,
I
1
=
δ
Z
0
cos x
√
x
dx,
I
2
=
1
Z
δ
cos x
√
x
dx.
Второй интеграл
I
2
не содержит особенности и может быть вычислен по
любой квадратурной формуле с точностью
ε/2. Первый интеграл I
1
вы-
числяется аналитически после замены
cos x соответствующим рядом Тей-
лора
I
1
=
δ
Z
0
1
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ . . . + (
−1)
m x
2m
(2m)!
+ . . .
√
x
dx = 2
√
δ
−
1
2!
2
5
δ
5/2
+
1
4!
2
9
δ
9/2
+
+ . . . + (
−1)
m
1
2m!
1
2m + 1/2
δ
2m+1/2
+ . . .
Нам нужно получить значение
I
1
с точность
ε/2. Ряд в разложении I
1
удовлетворяет условиям сходимости признака Лейбница
, поэтому, если
4
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда
S = p
1
− p
2
+ p
3
− . . . + (−1)
k−1
p
k
+ . . . , где все p
k
> 0,
будучи взяты по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последоват-
тельность, то этот ряд сходится.
Следствие. Если ряд удовлетворяет признаку сходимости Лейбница, тогда для его
частичных сумм справедливо неравенство
|S
n
− S| 6 p
n
.
Лекция 8
65
отбросить слагаемые с номерами большими
m, мы допустим погрешность
не более, чем модуль последнего оставшегося слагаемого
1
2m!
1
2m + 1/2
δ
2m+1/2
6
ε
2
.
Считаем, что точность
ε фиксирована. Чтобы выполнялось последнее
неравенство, мы будем варьировать
m и δ.
Если выбрать очень малое
δ (
0,1) потребуется совсем немного слага-
емых
m, но от такого δ пострадает погрешность интеграла I
2
, куда входит
величина
M
2
(для формулы прямоугольников или трапеций) или
M
4
(для
формулы Симпсона). В самом деле,
M
2
содержит слагаемое
∼ δ
−3/2
, а
M
4
— слагаемое
∼ δ
−5/2
. При малых
δ это будут большие числа.
Если выбрать большое
δ (
0,1), погрешность у I
2
будет нормальная,
но нужно много слагаемых
m. Компромиссом можно считать «среднее»
δ = 0,1.
В итоге оба интеграла
I
1
и
I
2
имеют погрешность не более
ε/2, а общая
погрешность для
I = I
1
+ I
2
не превзойдёт
ε/2 + ε/2 = ε.
Пример 2.
Вычислим интеграл второго типа
I =
∞
R
0
e
−x
2
dx. Данный
интеграл можно свести к интегралу первого типа, но мы поступим иначе.
I = I
1
+ I
2
,
I
1
=
A
Z
0
e
−x
2
dx,
I
2
=
∞
Z
A
e
−x
2
dx.
Выберем
A таким образом, чтобы величиной I
2
можно было пренебречь,
т.е.
|I
2
|
6
ε/2. Например, при A > 1
∞
Z
A
e
−x
2
dx
6
∞
Z
A
xe
−x
2
dx =
1
2
e
−A
2
.
Потребуем, чтобы
1
2
e
−A
2
6
ε
2
, откуда
A
>
p
| ln ε|.
Делее вычислим
I
1
стандартными методами с точностью
ε/2.
Мы получили значение интеграла
I
1
с погрешностью
ε/2, а I
2
не превос-
ходит
ε/2. Следовательно, общая погрешность I = I
1
+ I
2
будет не более
ε/2 + ε/2 = ε.