ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4707
Скачиваний: 6
Лекция 6
51
Привлекая последнюю лемму, получим что
x
i
Z
x
i
−1
H
3
(x) dx
лемма
=
h
6
[H
3
(x
i
−1
)+4H
3
(x
i
−1/2
)+H
3
(x
i
)] =
h
6
[f
i
−1
+4f
i
−1/2
+f
i
].
Погрешность на
i-ом частичном интервале
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
−
h
6
(f
i
−1
+ 4f
i
−1/2
+ f
i
) =
=
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
−
h
6
[H
3
(x
i
−1
) + 4H
3
(x
i
−1/2
) + H
3
(x
i
)] =
=
x
i
Z
x
i
−1
[f (x)
− H
3
(x)] dx =
x
i
Z
x
i
−1
R
3,i
(x) dx.
Как известно, для многочлена Эрмита погрешность равна
R
3,i
(x) =
f
IV
(ζ
i
(x))
4!
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
−1/2
)
2
(x
− x
i
).
Поэтому
|ψ
i
|
6
M
4,i
24
x
i
Z
x
i
−1
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
−1/2
)
2
(x
− x
i
) dx
=
h
5
2880
M
4,i
,
где
M
4,i
= max
[x
i
−1
,x
i
]
|f
IV
(x)
|. Для составной формулы Симпсона погрешность
|Ψ|
6
h
4
(b
− a)
2880
M
4
,
где
M
4
= max
[a,b]
|f
IV
(x)
|.
Замечание. Может показаться, что формула Симпсона точнее, фор-
мулы прямоугольников или формулы трапеций. В общем случае это не
так. Например, погрешности
|Ψ
прям
|
6
h
2
(b
−a)
24
M
2
и
|Ψ
симп
|
6
h
4
(b
−a)
2880
M
4
зависят не только от шага
h, но и от соответствующих производных.
С уверенностью можно утверждать только, что скорость уменьше-
ния погрешности при уменьшении шага
h у формулы Симпсона будет
больше, чем у формулы прямоугольников или формулы трапеций. На-
пример,
Лекция 6
52
Шаг Формула с погрешн.
O(h
2
) Формула с погрешн. O(h
4
)
h
погрешность
ε
погрешность
ε
h/2
погрешность
ε/4
погрешность
ε/16
h/4
погрешность
ε/16
погрешность
ε/256
Оценки для погрешностей
Ψ
прям
,
Ψ
трап
и
Ψ
симп
были получены в пред-
положении существования непрерывных производных соответствующего
порядка. Например, если у функции нет 4-ой непрерывной на
[a, b] произ-
водной, то порядок погрешности формулы Симпсона будет меньше, чем 4.
Лекция 7
53
1.7
Лекция 7
1.7.1
Метод Рунге
Квадратурные формулы имеют погрешность вида
O(h
p
). Если удастся
выделить главный член в погрешности, то можно с помощью метода Рун-
ге получить формулу с большим порядком погрешности. Для примера
рассмотрим формулу трапеций. Запишем частичную погрешность более
подробно, чем раньше
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
−h
f
i
−1
+ f
i
2
погр.
мн. Лагр.
=
x
i
Z
x
i
−1
f
00
(ξ(x))
2!
(x
−x
i
−1
)(x
−x
i
) dx =
ф-ла сред.
знач.
=
f
00
(ζ
i
)
2!
x
i
Z
x
i
−1
(x
−x
i
−1
)(x
−x
i
) dx =
−
f
00
(ζ
i
)h
3
12
,
где
ζ
i
∈ [x
i
−1
, x
i
].
Общая погрешность на интервале
[a, b] будет
Ψ =
n
X
i=1
ψ
i
=
−
h
2
12
n
X
i=1
f
00
(ζ
i
)h
при
h
→ 0
=
=
−
h
2
12
b
Z
a
f
00
(x) dx + O(h)
ф-ла Н.-Л.
=
−
h
2
12
(f
0
(b)
− f
0
(a)) + O(h
3
)
Главный член погрешности получен. Обозначим
S
тр
(h) = h
1
2
f
0
+ f
1
+ f
2
+ . . . + f
n
−1
+
1
2
f
n
.
b
Z
a
f (x) dx
=
S
тр
(h) + ch
2
+ O(h
3
)
=
S
тр
(h/2) + c(h/2)
2
+ O(h
3
)
2
Здесь потребуется известная из математического анализа
Теорема (формула среднего значения). Пусть функция
f (x) непрерывна на [a, b],
функция
g(x) интегрируема на [a, b] и g(x) > 0 (или g(x) 6 0) на всём [a, b], тогда
существует такое
ξ
∈ [a, b], что
b
Z
a
f (x)g(x) dx = f (ξ)
b
Z
a
g(x) dx.
Лекция 7
54
где
c =
−
f
0
(b)
−f
0
(a)
12
. Выразим неизвестное слагаемое
ch
2
=
S
тр
(h/2)
− S
тр
(h)
1
− 1/4
+ O(h
3
).
Отсюда
b
Z
a
f (x) dx = S
тр
(h) +
4
3
[S
тр
(h/2)
− S
тр
(h)] + O(h
3
) =
=
4S
тр
(h/2)
− S
тр
(h)
3
+ O(h
3
).
Заменим теперь
S
тр
b
Z
a
f (x) dx =
1
3
4
h
2
1
2
f
0
+ f
1/2
+ f
1
+ . . . + f
n
−1/2
+
1
2
f
n
+
+h
1
2
f
0
+ f
1
+ f
2
+ . . . + f
n
−1
+
1
2
f
n
+ O(h
3
) =
=
h
6
[f
0
+ f
n
+ 2(f
1
+ f
2
+ . . . + f
n
−1
) + 4(f
1/2
+ f
3/2
+ . . . + f
n
−1/2
)] + O(h
3
).
В итоге получили больший порядок погрешности ошибки, а сама квадра-
турная формула совпадает с формулой Симпсона.
1.7.2
Оценка погрешности
Пусть требуется получить приближённое значение интеграла с точностью
ε.
Возникает вопрос, какой следует выбрать шаг
h. Можно попробовать вы-
числить оценку погрешности для используемой формулы. В этом случае
придётся иметь дело с производными. Например, вычисляя по формуле
Симпсона, потребуется оценить
f
IV
(x). В общем случае это сделать непро-
сто. На практике часто используют более удобный метод Рунге.
Пусть
S(h) обозначает квадратурную формулу (например, трапеций
или Симпсона) с шагом
h, которая используется в наших расчётах на
компьютере. Справедливо представление
I =
b
Z
a
f (x) dx = S(h) + O(h
p
) = S(h) + ch
p
+ O(h
p+1
),
Лекция 7
55
где
p — порядок погрешности формулы S(h), а c — константа. Проведём
последовательно расчёт на компьютере с шагом
h, а затем h/2. Тогда ин-
теграл можно приближённо, без учёта
O(h
p+1
) выразить двумя способами
b
Z
a
f (x) dx
≈ S
тр
(h) + ch
p
≈ S
тр
(h/2) + c(h/2)
p
Наша цель — это проверка условия
|I − S(h/2)|
6
ε. Имеем
|I − S(h/2)| ≈ |c(h/2)
p
| ≈
|S(h) − S(h/2)|
2
p
− 1
6
ε.
Приведём таблицу для рассмотренных ранее квадратурных формул.
ф. прямоугольников ф. трапеций
ф. Симпсона
|I − S(h/2)| ≈
|S(h)−S(h/2)|
3
6
ε
|I − S(h/2)| ≈
|S(h)−S(h/2)|
15
6
ε
Проверка погрешности сводится к проверке неравенства для расчётов с
шагами
h и h/2. Если неравенство не выполняется, уменьшаем шаг ещё в
два раза и подставляем
S(h/2) и S(h/4) и т.д.
Метод можно использовать для выбора шага в зависимости от скорости
роста функции
f (x) (скорость роста определяется величиной f
0
(x)). Когда
скорость роста не велика, можно использовать широкий шаг (рис. 7.1).
На участках резкого изменения функции шаг лучше выбрать частый. В
данном подходе в отличии от всюду одинакового шага можно сэкономить
на количестве использованных узлов.
f
′
≈ 0
f
′
≈ 0
|f
′
| ≫ 0
÷àñòûé
øàã
ðåäêèé
øàã
Рис. 7.1: а) постоянный шаг на всём отрезке
[a, b]; б) выбор шага в зави-
симости от скорости роста функции (от величины
f
0
(x))
На практике мы разбиваем весь отрезок
[a, b] на p больших частей (p — несколько
единиц)
[a, b] = [a = c
0
, c
1
]
∪ [c
1
, c
2
]
∪ . . . ∪ [c
p−1
, c
p
= b].