ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4701
Скачиваний: 6
Лекция 7
56
Если задана погрешность для ответа
ε, то на каждой части [c
i−1
, c
i
], i = 1, 2, . . . , p зада-
дим погрешность
ε/p. Далее с каждым отрезком [c
i−1
, c
i
] работаем отдельно, выбирая
свой шаг по методу Рунге.
1.7.3
Формулы Ньютона–Котеса
Приблизим функцию многочленом
n-ой степени f (x)
≈ P
n
(x). Тогда ин-
теграл от
f (x) можно приблизить интегралом от многочлена
b
Z
a
f (x) dx
≈
b
Z
a
P
n
(x) dx.
Возникающая при этом погрешность равна
Ψ =
b
Z
a
[f (x)
− P
n
(x)] dx
погр.
мн. Лагр.
=
b
Z
a
f
(n+1)
(ξ(x))
(n + 1)!
ω
n+1
(x) dx.
Оценивая сверху, получим
|Ψ|
6
M
n+1
(n + 1)!
b
Z
a
|ω
n+1
(x)
| dx, где M
n+1
= max
[a,b]
|f
(n+1)
(x)
|.
Рассмотрим подробнее интеграл от многочлена
b
Z
a
P
n
(x) dx =
b
Z
a
"
n
X
k=0
f
k
L
(k)
n
(x)
L
(k)
n
(x
k
)
#
dx =
n
X
k=0
f
k
b
Z
a
L
(k)
n
(x)
L
(k)
n
(x
k
)
dx
=
n
X
k=0
f
k
c
k
,
где
c
i
=
R
b
a
L
(k)
n
(x) dx/L
(k)
n
(x
k
). Видно, что коэффициенты c
i
являются кон-
стантами, значения, которых не зависят от интегрируемой функции, но
определяются только узлами
x
0
= a, x
1
, x
2
, . . . , x
n
= b. Следовательно,
для заданных интервала
[a, b] и шага h можно один раз рассчитать c
i
,
i = 0, 1, . . . , n и использовать дальше для численного вычисления любых
функций по формуле
b
Z
a
f (x) dx
≈
n
X
k=0
f
k
c
k
.
(7.1)
Лекция 7
57
Последняя формула в случае постоянного шага
h = x
k
− x
k
−1
= const
носит название формулы Ньютона-К´
отеса
Исследуем теперь возможность поставить в (7.1) знак
= вместо
≈. Пусть
f (x) = a
0
+ a
1
x + . . . + a
m
x
m
,
a
m
6= 0 — многочлен степени m. Приблизим
f (x) многочленом Лагранжа P
n
(x) степени n. Ясно, что f (x) = P
n
(x),
если
m
6
n и, следовательно,
R
b
a
f (x) dx =
R
b
a
P
n
(x) dx =
P
n
k=0
f
k
c
k
.
Оказывается, в случае чётного
n формула (7.1) будет точна (равенство
будет не приближённым, а точным) даже для
m = n + 1.
Лемма. Если
n — чётное, то для коэффициентов формулы Ньютона–
Котеса справедливо
c
k
= c
n
−k
, где
k = 0, 1, . . . , n/2.
Доказательство.
Теорема. Если
n — чётное и P
n+1
(x) — многочлен степени n + 1, то
справедливо равенство
b
Z
a
P
n+1
(x) dx =
n
X
k=0
f
k
c
k
.
В заключении отметим, что формулы Ньютона–Котеса порядка
>
10
или
n = 8 не применяют из-за того, что коэффициенты c
k
,
k = 0, 1, . . . n
имеют разный знак (это важно для устойчивости, см. далее). При вы-
числении интегралов на длинных интервалах
[a, b], сам интервал [a, b] де-
лится на несколько частей (частичных отрезков). На каждом частичном
отрезке строится формула Ньютона–Котеса невысокой степени. В итоге
на всём отрезке
[a, b] получается составная формула Ньютона–Котеса.
Примеры составных формул уже встречались при рассмотрении методов
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3
Р´
оджер К´
отес (Roger Cotes) — английский математик (1682–1716).
Лекция 7
58
n
Формула Ньютона–Котеса (несоставные)
2
h
3
(f
0
+ 4f
1
+ f
2
)
3
3h
8
(f
0
+ 3f
1
+ 3f
2
+ f
3
)
4
2h
45
(7f
0
+ 32f
1
+ 12f
2
+ 32f
3
+ 7f
4
)
5
5h
288
(19f
0
+ 75f
1
+ 50f
2
+ 50f
3
+ 75f
4
+ 19f
5
)
6
h
140
(41f
0
+ 216f
1
+ 27f
2
+ 272f
3
+ 27f
4
+ 216f
5
+ 41f
6
)
Лекция 8
59
1.8
Лекция 8
Лемма 8.1. Если в формуле Ньютона–Котеса
n — чётно, тогда c
k
=
c
n
−k
.
Доказательство. Имеем
c
k
=
x
n
R
x
0
L
(k)
n
(x) dx
L
(k)
n
(x
k
)
,
c
n
−k
=
x
n
R
x
0
L
(n
−k)
n
(x) dx
L
(n
−k)
n
(x
n
−k
)
.
(8.1)
По определению формулы Ньютона–Котеса
x
i
−x
i
−1
= h = const. Отсю-
да следует, что для любых
i, j
∈ {0, 1, . . . , n} справедливо x
i
−x
j
= (i
−j)h.
Для знаменателей (8.1) получаем, что
L
(k)
n
(x
k
) =
= (k
− 0)h · (k − 1)h · . . . · 2h · 1h · (−1)h · (−2)h · . . . · (k − n)h
|
{z
}
n
− k отриц. множ.
=
= k! (n
− k)! h
n
(
−1)
n
−k
,
L
(n
−k)
n
(x
n
−k
) =
= (n
− k − 0)h · (n − k − 1)h · . . . · 2h · 1h · (−1)h · (−2)h · . . . · (n − k − n)h
|
{z
}
k отриц. множ.
=
= (n
− k)! k! h
n
(
−1)
k
.
Так как
n — чётное, то числа k и n
− k — чётные или нечётные одновре-
менно. Следовательно,
L
(k)
n
(x
k
) = L
(n
−k)
n
(x
n
−k
).
Перейдем теперь к числителям (8.1). Заметим, что
L
(k)
n
(x) = ω
n+1
(x)/(x
−
x
k
). Так как n — чётно, то n
n/2
является серединой отрезка
[x
0
, x
n
]. Осталь-
ные узлы
x
k
,
k = 0, 1, . . . , n расположены симметрично относительно n
n/2
.
Обозначим
t
k
= x
n/2
− x
k
= x
n
−k
− x
n/2
, тогда
x
− x
k
= (x
− x
n/2
) + (x
n/2
− x
k
) = x
− x
n/2
+ t
k
,
x
− x
n
−k
= (x
− x
n/2
) + (x
n/2
− x
n
−k
) = x
− x
n/2
− t
k
.
Лекция 8
60
Рассмотрим разность числителей из (8.1)
x
n
Z
x
0
L
(k)
n
(x) dx
−
x
n
Z
x
0
L
(n
−k)
n
(x) dx =
x
n
Z
x
0
ω
n+1
(x)
x
− x
k
−
ω
n+1
(x)
x
− x
n
−k
dx =
=
x
n
Z
x
0
ω
n+1
(x)
1
x
− x
n/2
+ t
k
−
1
x
− x
n/2
− t
k
dx =
−2t
k
x
n
Z
x
0
ω
n+1
(x) dx
(x
− x
n/2
)
2
− t
2
.
Функция
ω
n+1
(x) — нечётна относительно x = x
n/2
, функция
(x
− x
n/2
)
2
−
t
2
— чётна относительно
x = x
n/2
. Следовательно, всё подинтегральное
выражение является нечётной функций относительно
x = x
n/2
. Так как
x
n/2
есть середина отрезка
[x
0
, x
n
], по которому происходит интегрирова-
ние, то интеграл равен нулю.
Мы показали, что в (8.1) числители и знаменатели равны. Следователь-
но,
c
k
= c
n
−k
.
Теорема 8.2. Формула Ньютона–Котеса, где
n — чётное число, точна
для любого многочлена степени
n + 1.
Доказательство. Пусть
f (x) = a
n+1
x
n+1
+ a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
. Формула
Ньютона-Котеса имеет вид
b
Z
a
f (x) dx
≈ c
0
f (x
0
) + c
1
f (x
1
) + . . . + c
n
f (x
n
).
Погрешность формулы будет равна
ε =
b
Z
a
f (x) dx
− (c
0
f (x
0
) + c
1
f (x
1
) + . . . + c
n
f (x
n
)) =
b
Z
a
f (x) dx
−
b
Z
a
P
n
(x) dx,
где
P
n
(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа степени n.
ε =
b
Z
a
f
(n+1)
(x(ξ))
(n + 1)!
ω
n+1
(x) dx.
Очевидно
f
(n+1)
(x) = a
n+1
· (n + 1)! Поэтому
ε = a
n+1
b
Z
a
ω
n+1
(x) dx = a
n+1
b
Z
a
(x
− x
0
)(x
− x
1
) . . . (x
− x
n
) dx.