ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4691
Скачиваний: 6
Занятие 3
111
2 при
x
2
и корни как у
T
[3,5]
3
(x), в общем случае не выполняется.
Но термин «наиме-
нее отклоняющийся от нуля» нужно понимать как синоним «многочлен чебышёвского
типа», т.е. многочлен с корнями как у
T
[3,5]
3
(x).
Решение. Построим вначале многочлен Чебышёва
T
[
−1,1]
3
(x) = 4x
3
− 3x.
В условии задан отрезок
[3, 5]. Линейное преобразование
2x
−(5+3)
5
−3
= x
− 4
осуществляет перевод
[3, 5]
→ [−1, 1]. Получаем T
[3,5]
3
(x) = T
[
−1,1]
3
(x
−4) =
4x
3
− 48x
2
+ 189x
− 244. Нам задан коэффициент при x
2
. Это значит, что
многочлен нужно разделить на
−24: −
x
3
6
+ 2x
2
−
63
8
+
61
6
.
3.11
Функция
f (x) = sin 2x приближается многочленом Лагранжа на
[0, 2] по n чебышёвским узлам: x
i
= 1 + cos
2i
−1
2n
π, i = 1, . . . , n. Найти
наибольшее целое
p в оценке погрешности вида ε
n
=
1
3
10
−p
, если
n = 6.
Решение. Для интерполяции используется 6 чебышёвских узлов, следова-
тельно, степень многочлена Лагранжа на единицу меньше:
P
5
(x). Погреш-
ность многочлена Лагранжа:
R
5
(x) = f (x)
− P
5
(x) =
(sin x)
VI
|
x=ξ
(5 + 1)!
· ω
6
(x),
где
ξ
∈ [0, 2] — неизвестная точка из интервала и
ω
6
(x) = (x
− x
1
)(x
− x
2
) . . . (x
− x
6
), x
i
— чебышёвские узлы.
Оценим сверху модуль производной
M
6
= max
[0,2]
|(sin x)
VI
| = 2
6
. Имеем
ω
6
(x) = T
[0,2]
6
(x) — многочлен чебышёвского типа, у которого все 6 корней
принадлежат
[0, 2] и старший коэффициент равен 1. Найдём max
[0,2]
|ω
6
(x)
| =
max
[0,2]
|T
[0,2]
6
(x)
|
см. лекц. 4
=
(2
− 0)
6
· 2
1
−2·6
= 2
−5
. В итоге
|R
6
(x)
|
6
M
6
6!
· max
[0,2]
|ω
6
(x)
| =
2
6
720
· 2
−5
=
1
360
/
1
3
· 10
−2
.
Ответ:
p = 2.
Занятие 4
112
2.4
Занятие 4
2.4.1
Среднеквадратическое приближение
4.1
Провели эксперимент по измерению координаты
x движущегося
прямолинейно тела в зависимости от времени
t. Были получены следу-
ющие данные:
t 0
1
2
3
x 2 7,1 13,9 23,2
. Получить с помощью метода наи-
меньших квадратов зависимость
x(t), если известно, что тело движется
равноускоренно (координата
x имеет квадратичную зависимость от вре-
мени
t).
Решение. Координата тела, движущегося прямолинейно под действием
постоянного ускорения выражается квадратичной зависимостью:
x(t) = a + bt + ct
2
.
С помощью метода наименьших квадратов определим числа
a, b, c. Для
каждого значения
t найдём квадрат невязки и затем все невязки сложим:
Φ(a, b, c) = (a
− 2
| {z }
t=0
)
2
+ (a + b + c
− 7,1
|
{z
}
t=1
)
2
+ (a + 2b + 4c
− 13,9
|
{z
}
t=2
)
2
+
+ (a + 3b + 9c
− 23,2
|
{z
}
t=3
)
2
.
Найдём минимум
Φ(a, b, c):
∂Φ
∂a
= 2(a
−2)+2(a+b+c−7,1)+2(a+2b+4c−13,9)+2(a+3b+9c−23,2) =
= 8a + 12b + 28c
− 92, 4 = 0
∂Φ
∂b
= 2(a + b + c
− 7,1) + 4(a + 2b + 4c − 13,9) + 6(a + 3b + 9c − 23,2) =
= 12a + 28b + 72c
− 209 = 0
∂Φ
∂c
= 2(a + b + c
− 7,1) + 8(a + 2b + 4c − 13,9) + 18(a + 3b + 9c − 23,2) =
= 28a + 72b + 196c
− 543 = 0
Решая совместно последние три уравнения получим:
a = 2,04; b = 3,89;
c = 1,05. Окончательно x(t) = 2,04 + 3,89t + 1,05t
2
.
Занятие 4
113
4.2
Определить среднеквадратическое отклонение для результата преды-
дущей задачи.
Решение. Для каждого момента времени определим невязку по формуле
δ
i
= x(t
i
)
− x
i
,
i = 0, 1, . . . , 3 (x(t
i
) — зависимость, полученная методом
наименьших квадратов;
x
i
— значение координаты из таблицы):
t
0
1
2
3
x
2
7,1
13,9
23,2
δ 0,04
−0,12 0,12 −0,14
Вычислим среднеквадратическое отклонение
r
1
4
(δ
2
0
+ δ
2
1
+ δ
2
2
+ δ
2
3
) =
r
1
4
(0, 04
2
+ 0,12
2
+ 0,12
2
+ 0,14
2
)
≈ 0,11.
4.3
Найти обобщённое решение (в смысле метода наименьших квадра-
тов) переопределённой системы
x + y = 1,
x
− y = 2,
2x + y = 2,4.
Решение. Составим
Φ(x, y) = (x + y
− 1)
2
+ (x
− y − 2)
2
+ (2x + y
− 2,4)
2
.
∂Φ
∂x
= 2(x + y
− 1) + 2(x − y − 2) + 4(2x + y − 2,4) = 12x + 4y = 15,6 = 0,
∂Φ
∂y
= 2(x + y
− 1) + 2(x − y − 2) + 2(2x + y − 2,4) = 8x + 2y = 10,8 = 0.
При решении системы из двух уравнений, получим:
x = 1,5; y =
−0,6.
Невязки:
|δ
1
| = 0,1; |δ
2
| = 0,1; |δ
3
| = 0.
2.4.2
Численное дифференцирование
4.4
Написать с помощью метода неопределённых коэффициентов фор-
мулу для вычисления
y
00
1
по равноотстоящим узлам
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
.
Занятие 4
114
Решение. Метод неопределённых коэффициентов даёт результат, анало-
гичный разложению
y(x) в ряд Тейлора и выделению слагаемого y
00
1
. Если
у нас
4 узла, то в разложении функции y(x) в ряд Тейлора у нас бу-
дут участвовать четыре слагаемых (столько же, сколько узлов), содержа-
щие:
y(x), y
0
(x), y
00
(x) и y
000
(x). То есть y
00
1
будет выражаться через
y(x),
y
0
(x), y
00
(x) и y
000
(x), а погрешность будет выражаться через оставшие-
ся члены:
y
IV
(x), y
V
(x), . . . Ясно, что такая формула будет точна, если
y
IV
(x) = y
V
(x) = . . . = 0. Последнее будет справедливо для любого мно-
гочлена степени не выше
3. В частности, рассмотрим следующие четыре
многочлена (столько же, сколько узлов)
z = 1,
z = x
− x
0
,
z = (x
− x
0
)
2
,
z = (x
− x
0
)
3
(выбор именно этих многочленов обусловлен удобством дальнейших рас-
чётов).
Несложно показать, что, если подобрать числа
c
k
таким образом, чтобы
z
00
1
=
3
P
k=0
z
k
c
k
было точным равенством (для выбранных четырёх много-
членов
z), то это будет значение c
k
(x) для многочлена Лагранжа в точке
x = x
1
.
Найдём производные:
z
1 x
− x
0
(x
− x
0
)
2
(x
− x
0
)
3
z
00
0
0
2
6(x
− x
0
)
. Для каж-
дой колонки запишем
z
00
1
=
3
P
k=0
z
k
c
k
:
0 = c
0
· 1 + c
1
· 1 + c
2
· 1 + c
3
· 1,
0 = c
0
(x
0
− x
0
) + c
1
(x
1
− x
0
) + c
2
(x
2
− x
0
) + c
3
(x
3
− x
0
),
2 = c
0
(x
0
− x
0
)
2
+ c
1
(x
1
− x
0
)
2
+ c
2
(x
2
− x
0
)
2
+ c
3
(x
3
− x
0
)
2
,
6(x
1
− x
0
) = c
0
(x
0
− x
0
)
3
+ c
1
(x
1
− x
0
)
3
+ c
2
(x
2
− x
0
)
3
+ c
3
(x
3
− x
0
)
3
.
Узлы
x
i
,
i = 0, 1, 2, 3 — равноотстоящие с шагом h, поэтому x
1
− x
0
= h,
Занятие 4
115
x
2
− x
0
= 2h, x
3
− x
0
= 3h:
0 = c
0
+ c
1
+ c
2
+ c
3
,
0 = c
1
+ 2c
2
+ 3c
3
,
2 = c
1
h
2
+ 4c
2
h
2
+ 9c
3
h
2
,
6 = c
1
h
2
+ 8c
2
h
2
+ 27c
3
h
2
.
Решая систему, получим:
c
0
=
1
h
2
,
c
1
=
−
2
h
2
,
c
2
=
1
h
2
,
c
3
= 0.
Окончательно
y
00
1
≈
1
h
2
(y
0
− 2y
1
+ y
2
).
4.5
С помощью разложения в ряд Тейлора определить порядок погреш-
ности в формуле из предыдущей задачи.
Решение. На основании решения предыдущей задачи имеем:
y
00
1
=
1
h
2
(y
0
− 2y
1
+ y
2
) + O(h
p
),
где порядок
p нужно определить. Для этого разложим y
i
,
i = 0, 2 в ряд
Тейлора в окрестности точки
x
1
до члена
h
4
(сейчас точно неясно до како-
го члена нужно раскладывать, но, если понадобится, разложение всегда
можно продолжить):
y(x
0
) = y(x
1
) + (x
0
− x
1
)y
0
(x
1
) +
(x
0
− x
1
)
2
2!
y
00
(x
1
)+
+
(x
0
− x
1
)
3
3!
y
000
(x
1
) +
(x
0
− x
1
)
4
4!
y
IV
(x
1
) + O((x
0
− x
1
)
5
),
y(x
2
) = y(x
1
) + (x
2
− x
1
)y
0
(x
1
) +
(x
2
− x
1
)
2
2!
y
00
(x
1
)+
+
(x
2
− x
1
)
3
3!
y
000
(x
1
) +
(x
2
− x
1
)
4
4!
y
IV
(x
1
) + O((x
2
− x
1
)
5
),
В более компактной записи:
y
0
= y
1
− hy
0
1
+ h
2
y
00
1
/2
− h
3
y
000
1
/6 + h
4
y
IV
1
/24 + O(h
5
),