ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4706
Скачиваний: 6
Занятие 5
116
y
2
= y
1
+ hy
0
1
+ h
2
y
00
1
/2 + h
3
y
000
1
/6 + h
4
y
IV
1
/24 + O(h
5
).
Подставим полученные значения в формулу для численной производной:
1
h
2
(y
0
− 2y
1
+ y
2
) =
1
h
2
h
2
y
00
1
+
h
4
12
y
IV
1
+ O(h
5
)
= y
00
1
+
h
2
12
y
IV
1
+ O(h
3
)
|
{z
}
O(h
2
)
.
Так как четвёртая производная в общем случае отлична от нуля, то поря-
док погрешности равен 2.
2.5
Занятие 5
2.5.1
Численное дифференцирование (продолжение)
5.1
Найти оптимальное значение шага при вычислении
(
√
x)
0
|
x=105
на
компьютере, используя числа с плавающей точкой двойной точности, по
формуле центральной разности с машинной точностью. Определить с ка-
кой точностью будет вычислена производная.
Решение. Из-за округления чисел в мантиссе любые вычисления на ком-
пьютере ограничены машинной точностью
δ. Формула средней разност-
ной производной с шагом
h:
y
0
(x)
≈
f (x + h)
− f(x − h)
2h
.
В действительности компьютер вычисляет
y
0
(x)
≈
e
y(x + h)
−
e
y(x
− h)
2h
, где
e
y = y
± δ.
Для краткости пусть
y
+
= y(x+h), y
−
= y(x
−h). Рассмотрим погрешность
∆ =
y
0
−
˜
y
+
− ˜y
−
2h
=
y
0
−
y
+
− y
−
2h
+
˜
y
+
− y
+
2h
−
˜
y
−
− y
−
2h
6
6
y
0
−
y
+
− y
−
2h
+
˜
y
+
− y
+
2h
+
˜
y
−
− y
−
2h
6
6
|y
000
(η)
|
3
h
2
|
{z
}
см. разложение
в лекции №5
+
δ
2h
+
δ
2h
6
M
3
3
h
2
+
δ
h
= Φ(h),
Занятие 5
117
где
M
3
= max
[x
−h,x+h]
|y
000
(x)
|.
Минимизируем ошибку
Φ(h):
h
opt
:
Φ
0
(x) =
2M
3
h
3
−
δ
h
2
= 0
⇒
h
opt
=
3
s
3δ
2M
3
.
Остаётся определить значения
δ и M
3
.
Найдём погрешность входных данных
δ. Порядок
√
x, где x
∼ 105 равен
∼ 10 Будем считать, что при использовании чисел с плавающей точкой
двойной точности машинная погрешность составляет 16 десятичных раз-
рядов. Из представления
√
105 = 10,x . . . . . . . . . x
|
{z
}
16 десят. разр.
| xx . . . . . . . . . . . .
|
{z
}
не поместилось
в мантиссе
машинная точность в нашей задаче составит
δ =
±10
−14
.
Вычислим теперь
M
3
. Найдем производные для нашей задачи:
y
0
=
1
2
√
x
,
y
00
=
−
1
4x
√
x
,
y
000
=
3
8x
2
√
x
.
y
000
(x) монотонно убывает при x > 0. Следовательно в качестве верхней
оценки
M
3
=
max
[105
−h,105+h]
y
000
(x) можно взять легко вычисляемое значение
y
000
(100) =
3
8
·10
5
= 3,75
· 10
−6
.
h
opt
=
3
s
3
2
·
10
−14
3,75
· 10
−6
=
3
√
4
· 10
−9
≈ 1,6 · 10
−3
.
Φ(h
opt
)
≈
3,75
· 10
−6
· (1,6 · 10
−3
)
2
3
+
10
−14
1,6
· 10
−3
= 3,2
· 10
−12
+ 6
· 10
−12
∼
∼ 10
−11
10
−14
= δ.
Обратим внимание, что погрешность численной производной на 3 по-
рядка превосходит погрешность входных данных.
5.2
Методом Рунге уточнить правую разностную производную и полу-
чить в итоге формулу с погрешностью третьего порядка.
Занятие 5
118
2.5.2
Численное интегрирование
5.3
Доказать, что
R
b
a
f (x) dx =
P
n
i=1
f (x
i
−1
)h + O(h) (формула левых
прямоугольников).
Решение. На лекции была рассмотрена формула центральных прямоуголь-
ников
R
b
a
f (x) dx =
P
n
i=1
f (x
i
−1/2
)h + O(h
2
). Её порядок погрешности ра-
вен 2. В условии задачи приведена формула с меньшим порядком погреш-
ности.Перейдём к доказательству.
Общая погрешность равна
Ψ =
b
Z
a
f (x) dx
−
n
X
i=1
f (x
i
−1
)h =
n
X
i=1
x
i
Z
x
i
−1
[f (x)
− f(x
i
−1
)] dx
|
{z
}
ψ
i
.
Подставим погрешность многочлена Лагранжа
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
f
0
(x)
1!
(x
− x
i
−1
) dx,
|ψ
i
|
6
M
1,i
x
i
Z
x
i
−1
(x
− x
i
−1
) dx =
M
1,i
2
h
2
,
где
M
1,i
= max
[x
i
−1
,x
i
]
|f
0
(x)
|.
|Ψ| =
n
X
i=1
ψ
i
6
n
X
i=1
|ψ
i
| =
n
X
i=1
M
1,i
2
h
2
6
M
1
h
2
n
X
i=1
h
| {z }
b
−a
=
M
1
(b
− a)
2
h = O(h),
где
M
1
= max
[a,b]
|f
0
(x)
|.
5.4
Показать, что
2h
R
−2h
|ω
5
(x)
| dx =
19
3
h
6
.
5.5
Вычислить интеграл
1
R
0
exp(x
2
) dx по формуле Ньютона–Котеса с уз-
лами 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1 и оценить погрешность.
Занятие 5
119
Решение. Задано 5 равноотстоящих узлов. Приблизим функцию много-
членом Лагранжа
exp(x
2
)
≈ P
4
(x). Отсюда
1
Z
0
exp(x
2
) dx
≈
1
Z
0
P
4
(x) dx =
1
Z
0
4
X
k=0
exp(x
2
k
)
L
(k)
4
(x)
L
(k)
4
(x
k
)
dx =
=
4
X
k=0
exp(x
2
k
)
1
R
0
L
(k)
4
(x) dx
L
(k)
4
(x
k
)
|
{z
}
c
k
=
4
X
k=0
exp(x
2
k
)c
k
.
Задача сводится к вычислению коэффициентов
c
k
, зависящих только от
набора узлов
x
0
, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, но не от интегрируемой функции.
c
0
=
1
R
0
L
(0)
4
(x) dx
L
(0)
4
(x
k
)
=
1
R
0
(x
− x
1
)(x
− x
2
)(x
− x
3
)(x
− x
4
) dx
(x
0
− x
1
)(x
0
− x
2
)(x
0
− x
3
)(x
0
− x
4
)
=
=
1
R
0
(x
−
1
4
)(x
−
1
2
)(x
−
3
4
)(x
− 1) dx
(0
−
1
4
)(0
−
1
2
)(0
−
3
4
)(0
− 1)
=
1
R
0
[x
4
−
5
2
x
3
+
35
16
x
2
−
25
32
x +
3
32
] dx
3
32
=
=
7
90
≈ 0,078.
c
1
=
1
R
0
L
(1)
4
(x) dx
L
(1)
4
(x
k
)
=
1
R
0
(x
− 0)(x −
1
2
)(x
−
3
4
)(x
− 1) dx
(
1
4
− 0)(
1
4
−
1
2
)(
1
4
−
3
4
)(
1
4
− 1)
=
=
1
R
0
[x
4
−
9
4
x
3
+
13
8
x
2
−
3
8
x] dx
−
3
128
=
16
45
≈ 0,356.
c
2
=
1
R
0
L
(2)
4
(x) dx
L
(2)
4
(x
k
)
=
1
R
0
(x
− 0)(x −
1
4
)(x
−
3
4
)(x
− 1) dx
(
1
2
− 0)(
1
2
−
1
4
)(
1
2
−
3
4
)(
1
2
− 1)
=
=
1
R
0
[x
4
− 2x
3
+
19
16
x
2
−
3
16
x] dx
1
64
=
2
15
≈ 0,133.
Занятие 5
120
Так как узлы равноотстоящие, то
c
3
= c
1
и
c
4
= c
0
. Заметим, что все
c
k
> 0,
k = 0, 1, 2, 3, 4. Это гарантирует устойчивость полученной квадратурной
формулы.
1
Z
0
exp(x
2
) dx
≈ exp(0
2
)c
0
+ exp[(1/4)
2
]c
1
+ exp[(1/2)
2
]c
2
+ exp[(3/4)
2
]c
3
+
+ exp(1
2
)c
4
≈ 1,463.
Погрешность равна
Ψ =
1
Z
0
[exp(x
2
)
− P
4
(x)] dx =
1
Z
0
[exp(x
2
)]
(5)
|
x=ξ
5!
ω
5
(x) dx, где ξ
∈ [0, 1].
Найдём 5-ю производную
(e
x
2
)
0
= e
x
2
· 2x,
(e
x
2
)
(IV)
= e
x
2
· (12 + 48x
2
+ 16x
4
),
(e
x
2
)
00
= e
x
2
· (2 + 4x
2
),
(e
x
2
)
(V)
= e
x
2
· (120x + 160x
3
+ 32x
5
).
(e
x
2
)
000
= e
x
2
· (12x + 8x
3
).
Очевидно
M
5
= max
[0,1]
|(e
x
2
)
(V)
| = e · (120 + 160 + 32) = 312e. Оценим
погрешность сверху
|Ψ|
6
M
5
120
1
Z
0
|ω
5
(x)
| dx =
312e
24
·
19
3
1
4
6
≈ 0,05.
Модуль пришлось поставить внутри интеграла, а не снаружи, так как
R
1
0
ω
5
(x) dx = 0 (при равноотстоящих узлах с шагом x
i
− x
i
−1
= 1/4 функ-
ция
ω
5
(x) нечётна относительно точки x = 1/2). Реальная погрешность
при этом на один порядок (в 10 раз) оказалась меньше теоретической.
5.6
Иинтеграл
I =
1
R
0
exp(x
2
) dx был вычислен с помощью составной
формулы трапеций с различными шагами
h:
1
Сейчас и в дальнейшем будем использовать следующую легко получаемую таб-
лицу
h
R
−h
|ω
3
(x)
| dx =
1
2
h
4
,
2h
R
−2h
|ω
5
(x)
| dx =
19
3
h
6
,
3h
R
−3h
|ω
7
(x)
| dx =
639
4
h
8
,
4h
R
−4h
|ω
9
(x)
| dx =
37186
3
h
10
.