ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4698
Скачиваний: 6
Занятие 6
121
h
S
тр
(h)
1/32
1,46309
1/64
1,46276
1/128 1,46268
1/256 1,46266
Какая погрешность содержится в ответе на при шаге
h = 1/64? При каком
шаге достигается точность
ε = 10
−5
?
Решение. Для формулы трапеций справедливо равенство
I = S
тр
(h) + O(h
2
) = S
тр
(h) + ch
2
+ O(h
3
), где c =
−
f
0
(b)
−f
0
(a)
12
= const.
Отбросим малое слагаемое
O(h
3
) и вычислим приближённо интеграл I с
шагами
h и h/2
I
≈ S
тр
(h) + ch
2
,
I
≈ S
тр
(h/2) + c(h/2)
2
.
Отсюда
c(h/2)
2
≈ [S
тр
(h)
− S
тр
(h/2)]/3. Погрешность равна
|I − S
тр
(h/2)
| ≈
|S
тр
(h)
− S
тр
(h/2)
|
3
.
По исходным данным составим таблицу
h/2
|S
тр
(h)
− S
тр
(h/2)
|/3
1/64
0,00011
1/128
0,00003
1/256
0,00001
Из полученных данных следует, что
h = 1/64 погрешность будет порядка
10
−4
. Для достижения точности
ε = 10
−5
следует выбрать шаг
h = 1/256.
2.6
Занятие 6
2.6.1
Численное интегрирование (продолжение)
6.1
Оценить минимальное число разбиений отрезка
N для вычисления
интеграла
I =
R
1
0
sin(x
2
)dx по составной квадратурной формуле трапеций
S(h), обеспечивающее точность ε = 10
−4
.
Занятие 6
122
Решение. По условию погрешность
|Ψ| = |I − S(h)|
6
ε. Для составной
формулы трапеций
S(h) = h
n
P
i=1
f (x
i
−1
)+f (x
i
)
2
справедливо
|Ψ|
6
M
2
(b
−a)
12
h
2
.
Очевидно, число разбиений отрезка
N и длина частичного отрезка h свя-
заны соотношением
h = (b
−a)/N. Оценим M
2
. В производной
d
2
dx
2
sin(x
2
) =
−4x
4
sin(x
2
)
|
{z
}
f (x)
+ 2 cos(x
2
)
|
{z
}
g(x)
оба слагаемых убывают на отрезке
[0, 1]. Следо-
вательно, максимум модуля производной будет достигаться на границе
отрезка
M
2
= max(2,
| − 4 sin 1 + 2 cos 1|) ≈ 2,29.
В итоге получаем
M
2
(b
−a)
12
h
2
6
ε или
M
2
(b
−a)
3
12N
2
6
ε. Так как N
∈
N
, то
N
>
q
M
2
(b
−a)
3
12ε
+ 1, где [x] означает целую часть числа x. Окончательно
N
>
q
2
,
29
12
·10
−4
+ 1 = [43,7] + 1 = 44.
6.2
Предложить способ вычисления интеграла
R
1
0
ln x
1+x
2
dx по составной
квадратурной формуле с постоянным шагом
h.
Решение. Интеграл является несобственным, так как
lim
x
→0+0
ln x
1+x
2
=
−∞.
Заметим, что для любого
α > 0
lim
x
→0+0
x
α
ln x = lim
x
→0+0
ln x
x
−α
прав.
Лопит.
=
lim
x
→0+0
x
−1
−αx
−α−1
= 0.
Z
1
0
ln x
1 + x
2
dx =
Z
1
0
(1 + x
2
− x
2
) ln x
1 + x
2
dx =
Z
1
0
ln x dx
−
Z
1
0
x
2
ln x
1 + x
2
dx
Первый интеграл вычисляется явно
Z
1
0
ln x dx = x ln x
|
1
0
−
Z
1
0
x
1
x
dx =
−1.
Второй интеграл уже не является несобственным, следовательно, для его
вычисления применима, например, составная формула Симпсона.
6.3
Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла
R
∞
1
f (x)
1+x
2
dx,
где
|f(x)|
6
B = const с заданной точностью ε.
Занятие 6
123
Решение. Интеграл является несобственным так как верхний предел равен
∞. Разобьём его на две части
Z
∞
1
f (x)
1 + x
2
dx =
Z
∞
A
f (x)
1 + x
2
dx +
Z
∞
A
f (x)
1 + x
2
dx = I
1
+ I
2
.
Подберём число
A достаточно большим, чтобы
|I
2
|
6
ε/2. Функция f (x)
по условию ограничена некоторой константой
B. Будем считать, что зна-
чение
B нам известно
|I
2
| =
∞
Z
A
f (x)
1 + x
2
dx
6
∞
Z
A
B
1 + x
2
dx = B arctg x
|
∞
A
= B
π
2
− arctg A
.
B
π
2
− arctg A
6
ε
2
⇒ A
>
tg
π
2
−
ε
2B
.
В итоге по заданным
ε и B находим значение A. Далее, например, с
помощью составной формулы Симпсона вычисляем
I
1
=
A
R
1
f (x)
1+x
2
dx с точно-
стью
ε
2
. Общая погрешность результата составит
ε
2
+
ε
2
= ε.
2.6.2
Матричные вычисления
6.4
Доказать, что для любых матриц
A и B и фиксированной вектор-
ной нормы
||x|| для подчинённой матричной нормы справедливо ||AB||
6
||A|| · ||B||.
6.5
Показать, как связаны между собой нормы
||x||
1
,
||x||
2
и
||x||
∞
.
Решение.
6.6
Найти матричные нормы, подчинённые векторным нормам
||x||
1
,
||x||
2
и
||x||
∞
.
Решение. Для любого вектора x
∈
R
n
справедливо
||Ax||
∞
= max
i
n
X
j=1
a
ij
x
j
6
max
i
n
X
j=1
|a
ij
| max
j
|x
j
|
6
max
i
n
X
j=1
|a
ij
|
||x||
∞
.
Занятие 6
124
Покажем, что эта оценка достигается. Пусть максимум по
i имеет ме-
сто при
i = k. Тогда для x = (sign(a
k1
), sign(a
k2
), . . . , sign(a
kn
))
>
имеем
||x||
∞
= 1 и точные равенства по всей цепочке выше. Таким образом,
||A||
∞
= max
i
P
n
j=1
|a
ij
|
.
Аналогично показывается, что
||A||
1
= max
j
(
P
n
i=1
|a
ij
|).
По определению
||A||
2
= sup
x
6=0
||Ax||
2
||x||
2
= sup
x
6=0
s
(Ax, Ax)
(x, x)
= sup
x
6=0
s
(A
>
Ax, x)
(x, x)
.
Матрица
B = A
>
A — симметричная и (Bx, x) = (Ax, Ax)
>
0, сле-
довательно, (во-первых) все её собственные значения
λ
i
(B)
>
0, а (во-
вторых) сама матрица
B обладает ортонормированной системой собствен-
ных векторов q
1
, . . . , q
n
. Это означает, что
Bq
i
= λ
i
q
i
и
(q
i
, q
j
) =
(
1, если i = j
0, если i
6= j
. Любой вектор x представим в виде x
=
n
P
i=1
c
i
q
i
,
||x||
2
2
=
n
P
n=1
c
2
i
, поэтому
(Bx, x) = (
P
n
i=1
λ
i
c
i
q
i
,
P
n
i=1
c
i
q
i
) =
P
n
i=1
λ
i
c
2
i
. От-
сюда
(Bx, x)
6
max
i
λ
i
||x||
2
2
. Получаем
sup
x
6=0
q
(Bx,x)
(x,x)
= max
i
λ
i
(B), а ра-
венство достигается на соответствующем максимальному
λ
i
собственном
векторе. Поэтому
||A||
2
=
q
max
i
λ
i
(A
>
A).
6.7
Найти матричные нормы, подчинённые векторным нормам
||x||
1
,
||x||
2
и
||x||
∞
для матрицы
A =
−1 3 2
3
−3 4
1
9
7
.
Решение. Воспользуемся результатом предыдущей задачи
||A||
∞
= max
i
n
X
j=1
|a
ij
|
=
= max (
| − 1| + |3| + |2|, |3| + | − 3| + |4|, |1| + |9| + |7|) = 17.
Занятие 6
125
||A||
1
= max
j
n
X
i=1
|a
ij
|
!
=
= max (
| − 1| + |3| + |1|, |3| + | − 3| + |9|, |2| + |4| + |7|) = 15.
||A||
2
=
q
max
i
λ
i
(A
>
A). Найдём матрицу
B = A
>
A =
11
−3 17
−3 99 57
17 57 69
И её собственные значения
|B − λE| =
11
− λ
−3
17
−3
99
− λ
57
17
57
69
− λ
=
−λ
3
+ 179λ
2
− 5132λ + 4356.
Из уравнения
|B − λE| = 0 получаем λ
1
≈ 143,43, λ
2
≈ 34,69 и λ
3
≈ 0,88.
Выбираем максимальное с.з.
λ
1
и получаем
||A||
2
=
√
λ
1
≈ 11,96.
6.8
Можно ли утверждать, что если определитель матрицы мал, то мат-
рица плохо обусловлена?
Решение. Пусть
D = εE, где ε > 0 — малое число и E — единичная
матрица. Определитель
det(D) = ε
n
весьма мал, тогда как матрица
D
хорошо обусловлена, поскольку
µ(D) =
||D|| ||D
−1
|| = 1.
Рассмотрим теперь матрицу
A =
1
−1 −1 · · · −1
0
1
−1 · · · −1
... ...
... ... ...
0
0
0
· · ·
1
,
у которой определитель равен
1, и вычислим её число обусловленности.