ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4703
Скачиваний: 6
Лекция 5
46
Подставляя найденное выражение в равенство (5.5), получаем формулу
Рунге
F (x) = f (x, h) +
f (x, h)
− f(x, kh)
k
p
− 1
+ O(h
p+1
).
(5.7)
Эта формула позволяет по результатам двух расчётов значений производ-
ной
f (x, h) и f (x, kh) (с шагами h и kh) с порядком точности p найти её
уточнённое значение с порядком точности
p + 1.
Пример.
Рассмотрим формулу
y
0
(x) =
y(x+h)
−y(h)
h
+ O(h
1
). Она имеет
первый порядок погрешности. Получим с помощью метода Рунге формулу
с б´
ольшим порядком погрешности. Убедимся вначале, что метод Рунге
применим, то есть, что нашу формулу можно представить в виде (5.5).
Вспомним разложение в ряд Тейлора:
y(x + h) = y(x) + y
0
(x)h + y
00
(ξ)
h
2
2!
= y(x) + y
0
(x)h + y
00
(x)
h
2
2!
+ y
000
(η)
h
3
3!
,
где
ξ, η
∈ [x, x + h]. Отсюда:
y
0
(x)
| {z }
F (x)
=
y(x + h)
− y(x)
h
|
{z
}
f (x,h)
+
y
00
(ξ)
2
h
|
{z
}
O(h
1
)
=
y(x + h)
− y(x)
h
|
{z
}
f (x,h)
+
y
00
(x)
2
h
|
{z
}
ϕ(x)h
+
y
000
(η)
6
h
2
|
{z
}
O(h
2
)
.
Заключаем, что представление (5.5) верно. Следовательно, можно приме-
нять метод Рунге.
Подставим в (5.7) вместо
f (x) нашу формулу
y(x+h)
−y(h)
h
и положим
k =
2:
F (x) =
y(x + h)
− y(h)
h
+
y(x + h)
− y(h)
h
−
y(x + 2h)
− y(h)
2h
2
1
− 1
+O(h
1+1
) =
=
1
h
−
3
2
y(x) + 2y(x + h)
−
1
2
y(x + 2h)
+ O(h
2
),
где
F (x) = y
0
(x). Можно переписать короче:
y
0
i
=
1
h
−
3
2
y
i
+ 2y
i+1
−
1
2
y
i+2
+ O(h
2
).
Полученная формула имеет уже второй порядок погрешности.
Лекция 6
47
1.6
Лекция 6
Формулы для численного вычисления интегралов называются квадратур-
ными формулами (от слова «квадрат», понимаемого в значении «пло-
щадь»).
Разобьём отрезок
[a, b], по которому интегрируют функцию на n частей
с помощью точек
x
i
, i = 0, 1, . . . , n, которые называют узлами квадратур-
ной формулы. Тогда можно записать
b
Z
a
f (x) dx =
n
X
k=1
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx.
1.6.1
Формула прямоугольников
Приблизим частичный интеграл площадью прямоугольника
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
≈ f(x
i
−1/2
)h.
Это равносильно тому, что мы заменили функцию
f (x) на [x
i
−1
, x
i
] много-
членом Лагранжа нулевой степени
P
0
(x) = f (x
i
−1/2
). Погрешность метода
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
− f(x
i
−1/2
)h =
x
i
Z
x
i
−1
[f (x)
− f(x
i
−1/2
)] dx.
С помощью формулы Тейлора
f (x) = f (x
i
−1/2
) + (x
− x
i
−1/2
)f
0
(x
i
−1/2
) +
(x
− x
i
−1/2
)
2
2
f
00
(ζ
i
),
где
ζ
i
= ζ
i
(x)
∈ [x, x
i
]. Откуда
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
"
(x
− x
i
−1/2
)f
0
(x
i
−1/2
) +
(x
− x
i
−1/2
)
2
2
f
00
(ζ
i
)
#
dx =
=
x
i
Z
x
i
−1
(x
− x
i
−1/2
)
2
2
f
00
(ζ
i
) dx.
Лекция 6
48
Оценка сверху
|ψ
i
|
6
M
2,i
x
i
Z
x
i
−1
(x
− x
i
−1/2
)
2
2
dx =
h
3
24
M
2,i
, где M
2,i
= max
[x
i
−1
,x
i
]
|f
00
(x)
|.
Суммируя частичные интегралы, получим составную формулу прямо-
угольников
b
Z
a
f (x) dx
≈ (f
1/2
+ f
3/2
+ . . . + f
n
−1/2
)h
Погрешность этой формулы
Ψ =
b
Z
a
f (x) dx
−
n
X
i=1
f (x
i
−1/2
)h =
n
X
i=1
ψ
i
|Ψ|
6
n
X
i=1
|ψ
i
|
6
n
X
i=1
h
3
24
M
2,i
6
n
X
i=1
h
3
24
M
2
= n
h
3
24
M
2
=
h
2
(b
− a)
24
M
2
= O(h
2
),
где
M
2
= max
[a,b]
|f
00
(x)
| — максимум уже на всём отрезке [a, b].
1.6.2
Формула трапеций
Приблизим частичный интеграл площадью трапеции
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
≈
f (x
i
−1/2
) + f (x
i
)
2
h.
Это равносильно тому, что мы заменили функцию
f (x) на [x
i
−1
, x
i
] мно-
гочленом Лагранжа первой степени
P
1,i
(x) =
1
h
[(x
− x
i
−1
)f (x
i
)
− (x − x
i
)f (x
i
−1
)].
Погрешность многочлена Лагранжа
R
1,i
(x) = f (x)
− P
1,i
(x) =
f
00
(ζ
i
(x))
2!
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
).
Откуда погрешность формулы трапеций
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
R
1,i
(x) dx
Лекция 6
49
Оценим погрешность сверху
|ψ
i
|
6
x
i
Z
x
i
−1
R
1,i
(x) dx
6
M
2,i
2
x
i
Z
x
i
−1
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
) dx
=
M
2,i
h
3
12
,
где
M
2,i
= max
[x
i
−1
,x
i
]
|f
00
(x)
|. Складывая частичные интегралы, получим со-
ставную формулу трапеций
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
≈
n
X
i=1
f (x
i
)
− f(x
i
−1
)
2
h = h
1
2
f
0
+ f
1
+ . . . + f
n
−1
+
1
2
f
n
Погрешность составной формулы складывается из суммы частичных по-
грешностей
Ψ =
n
P
i=1
ψ
i
. Справедлива оценка
|Ψ|
6
n
X
i=1
|ψ
i
|
6
n
X
i=1
h
3
12
M
2,i
6
n
X
i=1
h
3
12
M
2
= n
h
3
12
M
2
=
h
2
(b
− a)
12
M
2
= O(h
2
),
где
M
2
= max
[a,b]
|f
00
(x)
|.
1.6.3
Формула Симпсона
Приблизим функция
f (x) на частичном интервале многочленом Лагран-
жа 2-ой степени, который проходит через точки
(x
i
−1
, f
i
−1
), (x
i
−1/2
, f
i
−1/2
)
и
(x
i
, f
i
)
f (x)
≈ P
2,i
= f
i
−1
L
(i
−1)
2
(x)
L
(i
−1)
2
(x
i
−1
)
+ f
i
−1/2
L
(i
−1/2)
2
(x)
L
(i
−1/2)
2
(x
i
−1/2
)
+ f
i
L
(i)
2
(x)
L
(i)
2
(x
i
)
=
= f
i
−1
(x
− x
i
−1/2
)(x
− x
i
)
h/2
· h
− f
i
−1/2
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
)
h/2
· h/2
+
+ f
i
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
−1/2
)
h
· h/2
,
где
h = x
i
− x
i
−1
. Проведя интегрирование, получим
x
i
Z
x
i
−1
f (x) dx
≈
x
i
Z
x
i
−1
P
2,i
(x) dx =
h
6
(f
i
−1
+ 4f
i
−1/2
+ f
i
).
Лекция 6
50
Последнее выражение называется формулой Симпсона. На всём отрезке
[a, b] формула Симпсона имеет вид
b
Z
a
f (x) dx
≈
n
X
i=1
h
6
(f
i
−1
+ 4f
i
−1/2
+ f
i
) =
=
h
6
[f
0
+ f
n
+ 2(f
1
+ f
2
+ . . . + f
n
−1
) + 4(f
1/2
+ f
3/2
+ . . . + f
n
−1/2
)].
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
x
i
= a+
1
2
hi,
i = 0, 1, . . . , 2n, hN = b
− a и записать формулу Симпсона в виде
b
Z
a
f (x) dx
≈
b
− a
6n
[f
0
+f
2n
+2(f
2
+f
4
+. . .+f
2n
−2
)+4(f
1
+f
3
+. . .+f
2n
−1
)].
Для оценки погрешности потребуется вспомогательная
Лемма. Формула Симпсона точна для любого многочлена 3-ей степени,
т.е. имеет место точное равенство
R
x
i
x
i
−1
f (x) dx =
h
6
(f
i
−1
+ 4f
i
−1/2
+ f
i
),
если
f (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
.
Доказательство получается непосредственной подстановкой.
Для оценки погрешности формулы Симпсона можно было бы восполь-
зоватьс погрешностью многочлена Лагранжа
ψ
i
=
x
i
Z
x
i
−1
[f (x)
− P
2,i
(x)] dx =
x
i
Z
x
i
−1
f
000
(ζ
i
(x))
3!
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
−1/2
)(x
− x
i
).
Откуда
|ψ
i
| ∼ h
4
, т.е. погрешность составной формулы Симпсона будет
|Ψ|
6
n
P
i=1
|ψ
i
| ∼ h
3
. Но качество численной формулы измеряется порядком
погрешности. Покажем, как можно повысить в оценке порядок погрешно-
сти.
Воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита. Построим мно-
гочлен 3-ей степени
H
3
(x) такой, что
H
3
(x
i
−1
) = f (x
i
−1
),
H
3
(x
i
−1/2
) = f (x
i
−1/2
),
H
3
(x
i
) = f (x
i
),
H
0
3
(x
i
−1/2
) = f
0
(x
i
−1/2
).