ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.08.2019
Просмотров: 9483
Скачиваний: 23
86
Поскольку напряжение и заряд на конденсаторе связаны формулой
C
)
t
(
q
)
t
(
u
C
, то согласно (8.15) можно записать закон изменения
напряжения на обкладках конденсатора при затухающих колебаниях
t
cos
e
C
q
t
cos
e
u
u
t
m
t
m
C
.
(8.18)
Чтобы получить закон изменения силы тока в контуре,
продифференцируем выражение (8.15) согласно (8.4):
)
t
sin
t
cos
(
e
q
dt
dq
i
t
m
.
(8.19)
Преобразовав (8.19) к виду
t
sin
t
cos
e
q
i
0
0
t
m
0
и введя фазу , определяемую зависимостями
0
0
cos
;
sin
,
закон изменения тока при затухающих колебаниях (8.19) можно
представить в виде
)
t
sin(
e
q
i
t
m
0
,
(8.20)
где
L
2
R
arctg
arctg
.
Так как
)
2
(
t
cos
)
t
sin(
0
, то колебания тока в контуре
c сопротивлением R отстают по фазе от колебаний заряда меньше, чем
на 2 .
Для характеристики затухания используется логарифмический
декремент затухания , равный натуральному логарифму отношения
двух последовательных значений амплитуды заряда, напряжения или
тока, отстоящих друг от друга на время, соответствующее периоду Т:
.
T
e
q
e
q
ln
q
q
ln
)
T
t
(
m
t
m
T
t
t
(8.21)
Другой характеристикой колебательного контура является его
добротность Q
87
)
T
(
W
)
t
(
W
2
Q
,
(8.22)
где W(t) – полная энергия в контуре в произвольный момент времени t,
W(T) – убыль этой энергии за период колебаний.
Из законов затухающих колебаний следует зависимость энергии
затухающих колебаний от времени:
)
t
β
2
exp(
W
)
t
(
W
0
,
откуда
Wdt
β
2
dW
.
(8.23)
При малом затухании из (8.23) получаем, что относительная убыль
энергии за один период запишется
T
2
)
t
(
W
)
T
(
W
.
(8.24)
Подставляя (8.24) в (8.22), получаем выражение для добротности
контура
T
Q
.
(8.25)
Учитывая, что β = R/2L, а
LC
π
2
T
T
0
, получаем, что при
малом затухании добротность контура равна
C
L
R
1
Q
.
(8.26)
При решении некоторых задач колебательный процесс иногда
удобно изображать на координатной плоскости, где по осям отложены
i – u (ток – напряжение).
Плоскость i – u называется фазовой
плоскостью (плоскостью состояний), а кривая u = f(i) называется
фазовой кривой.
Для идеального контура (R = 0) законы изменения напряжения (8.9)
и тока (8.10) имеют вид
.
t
sin
C
u
t
sin
q
i
t
cos
u
u
0
0
m
0
0
m
0
m
(8.27)
Выражая из уравнений (8.27)
t
cos
0
и
t
sin
0
и используя
тригонометрическое тождество
1
cos
sin
2
2
, получаем
1
C
u
i
u
u
2
2
0
2
m
2
2
m
2
.
(8.28)
88
Это – уравнение эллипса (рис.8.5).
Если сопротивление контура
0
R
, то амплитуды напряжения и
тока непрерывно убывают, и фазовая кривая получается незамкнутой,
как показано на рис.8.6.
Точка 1 на рис.8.6 соответствует моменту времени t = 0, а точка 2 –
моменту времени через период T колебаний.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 70
Исследование затухающих колебаний в
колебательном контуре
Цель работы: изучение параметров и характеристик реального
колебательного контура.
Методика измерений
В данной работе для исследования затухающих колебаний в
реальном
колебательном
контуре,
включающем
активное
сопротивление R, применяется электронный осциллограф. При этом
через генератор звуковых колебаний производится периодическая
подзарядка конденсатора, т.е. кривая затухающих колебаний
периодически повторяется.
При не очень больших значениях сопротивления контура
(
C
L
2
R
, где L – индуктивность катушки, С – емкость
конденсатора), на экране осциллографа наблюдается картина
затухающих колебаний, как это показано на рис.8.7, что соответствует
закону изменения напряжения (8.18).
Если генератор задает частоту f, то цикл подзарядки конденсатора
длится
)
f
1
(
секунд, этому времени на экране осциллографа
соответствует отрезок L
1
. Периоду колебаний T соответствует отрезок L.
Рис. 8.5
i
u
Рис. 8.6
2
1
i
u
89
Следовательно, период затухающих колебаний может быть
определен по формуле
f
1
L
L
T
1
.
(8.29)
Измерив амплитуды колебаний, отстоящие друг от друга на время,
равное периоду
)
T
2
t
(
u
u
;
)
T
t
(
u
u
;
)
t
(
u
u
m
m
m
m
m
m
3
2
1
можно согласно формуле (8.21) определить логарифмический
декремент затухания
3
2
2
1
m
m
m
m
u
u
ln
или
u
u
ln
;
(8.30)
и его среднее значение
2
.
(8.31)
Тогда коэффициент затухания
можно рассчитать как
T
.
(8.32)
Значение
сопротивления
в
контуре можно изменять, например,
с помощью магазина сопротивлений
(R
м
).
Зависимость
логарифмического
коэффициента
затухания
от сопротивления R
м
в контуре показана на рис.8.8.
Полное активное сопротивление контура R складывается из активного
3
m
u
2
m
u
1
m
u
Рис. 8.7
L
1
L
Т
t
u
Рис. 8.8
0
R
k
R
м
90
сопротивления катушки индуктивности R
k
и сопротивления магазина
R
м
:
м
k
R
R
R
.
Значение R
k
можно определить, экстраполируя график до значения
0. Тогда согласно формуле для коэффициента затухания
L
2
R
,
можно рассчитать индуктивность L катушки
2
R
R
2
R
L
м
k
(8.33)
и, считая <<
0
, из формулы Томсона емкость С конденсатора
L
4
T
C
2
2
.
(8.34)
При больших значениях сопротивления контура (
C
L
2
R
) на
экране электронного осциллографа будет наблюдаться апериодический
процесс, показанный на рис.8.9.
Измерения логарифмического декремента затухания можно
проводить также с помощью фазовой кривой u = f(i). Если
сопротивление контура
C
L
2
R
, то фазовые кривые имеют вид,
показанный на рис.8.10.
Измеряя значения напряжения, разделенные промежутком времени,
равным
периоду,
можно
по
формулам
(8.30)
определить
логарифмический декремент затухания . Аналогичные измерения
можно провести и по значениям тока
3
2
2
1
m
m
m
m
i
i
ln
или
i
i
ln
.
(8.35)
При больших значениях сопротивления контура (
C
L
2
R
)
фазовая кривая для апериодического разряда принимает вид,
показанный на рис.8.11.
Рис. 8.9
t
u